Em cada parte, explicite a substituição trigonométrica que tentaríamos em primeiro lugar para calcular a integral. Não calcule a integral.
\int \sqrt{9+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral
\int \sqrt{9 + x^2}\,dx
e instrui que apliquemos uma substituição trigonométrica apropriada para expressar essa raiz de soma de quadrados sem, porém, calcular a integral até o fim.

Passo 2

Para integrais do tipo \sqrt{a^2 + x^2}, a substituição padrão é
x = a \tan(\theta),
pois então
\sqrt{a^2 + x^2} = \sqrt{a^2 + a^2\tan^2(\theta)} = a\operatorname{sec}(\theta).
No nosso caso, a=3, logo escolhemos
x = 3\,\tan(\theta), \qquad dx = 3\,\operatorname{sec}^2(\theta)\,d\theta, \qquad \sqrt{9 + x^2} = 3\,\operatorname{sec}(\theta).

Resposta

A substituição trigonométrica a ser tentada é
x = 3\tan(\theta), \quad dx = 3\operatorname{sec}^2(\theta)\,d\theta, \quad \sqrt{9 + x^2} = 3\operatorname{sec}(\theta).

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