Se x=2 \operatorname{sec} \theta e 0<\theta<\pi / 2, então
\operatorname{tg} \theta=

Passo 1

O enunciado dá x = 2 \operatorname{sec} \theta com 0 < \theta < \pi/2 e pede \tan \theta. O conteúdo envolve identidades trigonométricas básicas: definição de secante e relação pitagórica.

Passo 2

Da definição de secante temos \operatorname{sec} \theta = 1/\cos \theta, então x = 2 \operatorname{sec} \theta implica
\cos \theta = \frac{2}{x}.

Passo 3

Usando a relação pitagórica \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 obtemos
\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{4}{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2 - 4}}{x}.
Como 0<\theta<\pi/2 temos \sin \theta>0 e x=2\operatorname{sec}\theta>0.

Passo 4

A tangente é definida por \tan \theta = \sin \theta / \cos \theta, portanto
\tan \theta = \frac{\frac{\sqrt{x^2 - 4}}{x}}{\frac{2}{x}} = \frac{\sqrt{x^2 - 4}}{2}.

Resposta

\tan \theta = \frac{\sqrt{x^2 - 4}}{2}

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