Em cada parte, resolva a equaçāo matricial para X.
(b) X\left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & 2 \\\\ 3 & 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr}-5 & -1 & 0 \\\\ 6 & -3 & 7\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação matricial
X\left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & 2 \\[4pt] 3 & 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr}-5 & -1 & 0 \\[4pt] 6 & -3 & 7\end{array}\right].
Informações dadas:
  • A matriz multiplicadora à direita é \displaystyle A=\left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & 2 \\[4pt] 3 & 0 & 1\end{array}\right], que tem dimensão 2\times3 (duas linhas e três colunas).
  • A matriz resultante é \displaystyle B=\left[\begin{array}{rrr}-5 & -1 & 0 \\[4pt] 6 & -3 & 7\end{array}\right], que tem dimensão 2\times3.
    Pergunta: encontrar a matriz X que satisfaz a igualdade acima.]

Passo 2

Determinar a dimensão de X. Se X tiver dimensão m\times 2 então o produto X A terá dimensão m\times 3. Como sabemos que X A deve ser igual a B, que é 2\times3, concluímos que m=2. Logo X é uma matriz 2\times2.
Agora representamos X com incógnitas. Seja
X=\left[\begin{array}{cc}x_{11} & x_{12} \\[4pt] x_{21} & x_{22}\end{array}\right],
onde cada x_{ij} é um número real desconhecido que precisamos achar.]

Passo 3

Lembrete rápido sobre multiplicação de matrizes (aula curta): se C=XA e X é 2\times2 e A é 2\times3, então cada elemento C_{ij} é dado por
C_{ij}=\sum_{k=1}^{2} x_{ik}\,a_{kj},
ou seja, multiplica-se a i-ésima linha de X pela j-ésima coluna de A e soma-se os produtos.
Vamos calcular XA componente a componente. A matriz A tem colunas que vamos usar; calculando explicitamente:
XA=\left[\begin{array}{cc}x_{11} & x_{12} \\[4pt] x_{21} & x_{22}\end{array}\right] \left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & 2 \\[4pt] 3 & 0 & 1\end{array}\right].
Calcule as entradas da primeira linha de XA:
  • Entrada (1,1): x_{11}\cdot 1 + x_{12}\cdot 3 = x_{11}+3x_{12}.
  • Entrada (1,2): x_{11}\cdot(-1) + x_{12}\cdot 0 = -x_{11}.
  • Entrada (1,3): x_{11}\cdot 2 + x_{12}\cdot 1 = 2x_{11}+x_{12}.
Calcule as entradas da segunda linha de XA:
  • Entrada (2,1): x_{21}\cdot 1 + x_{22}\cdot 3 = x_{21}+3x_{22}.
  • Entrada (2,2): x_{21}\cdot(-1) + x_{22}\cdot 0 = -x_{21}.
  • Entrada (2,3): x_{21}\cdot 2 + x_{22}\cdot 1 = 2x_{21}+x_{22}.
Portanto
XA=\left[\begin{array}{rrr} x_{11}+3x_{12} & -x_{11} & 2x_{11}+x_{12} \\[4pt] x_{21}+3x_{22} & -x_{21} & 2x_{21}+x_{22} \end{array}\right].]

Passo 4

Agora igualamos XA à matriz B. Igualando entrada a entrada obtemos o sistema de equações:
\begin{cases} x_{11}+3x_{12} = -5,\\[4pt] -x_{11} = -1,\\[4pt] 2x_{11}+x_{12} = 0,\\[6pt] x_{21}+3x_{22} = 6,\\[4pt] -x_{21} = -3,\\[4pt] 2x_{21}+x_{22} = 7. \end{cases}
Cada linha corresponde a comparar as entradas correspondentes das matrizes.]

Passo 5

Resolver as incógnitas da primeira linha ( x_{11},x_{12}).
Da segunda equação da primeira linha temos
-x_{11}=-1 \quad\Rightarrow\quad x_{11}=1.
Substitua x_{11}=1 na primeira equação:
1+3x_{12}=-5 \quad\Rightarrow\quad 3x_{12}=-6 \quad\Rightarrow\quad x_{12}=-2.
Verificação rápida com a terceira equação:
2x_{11}+x_{12}=2\cdot 1 + (-2)=2-2=0,
que confere com a terceira equação. Logo a primeira linha de X é [\,1\;\; -2\,].

Passo 6

Resolver as incógnitas da segunda linha ( x_{21},x_{22}).
Da quinta equação temos
-x_{21}=-3 \quad\Rightarrow\quad x_{21}=3.
Substitua x_{21}=3 na quarta equação:
3+3x_{22}=6 \quad\Rightarrow\quad 3x_{22}=3 \quad\Rightarrow\quad x_{22}=1.
Verificação rápida com a sexta equação:
2x_{21}+x_{22}=2\cdot 3 + 1 = 6+1=7,
que confere com a sexta equação. Logo a segunda linha de X é [\,3\;\;1\,].

Passo 7

Juntando os resultados, obtemos
X=\left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\[4pt] 3 & 1\end{array}\right].
Fazer uma verificação final multiplicando X por A:
\left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\[4pt] 3 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & 2 \\[4pt] 3 & 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr}1+3(-2) & -1 & 2\cdot 1 + (-2) \\[4pt] 3+3\cdot 1 & -3 & 2\cdot 3 + 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr}-5 & -1 & 0 \\[4pt] 6 & -3 & 7\end{array}\right],
que é exatamente B. Portanto a solução está correta.]

Resposta

\left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\[4pt] 3 & 1\end{array}\right]]

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