A matriz à direita do produto é \displaystyle A=\left[\begin{array}{rrr}-1 & 0 & 1 \\[4pt] 1 & 1 & 0 \\[4pt] 3 & 1 & -1\end{array}\right], que é 3\times3.
A matriz do lado direito da igualdade é \displaystyle B=\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 0 \\[4pt] -3 & 1 & 5\end{array}\right], que é 2\times3.
A matriz desconhecida X deve ter dimensões 2\times3, pois X(3\times3) deve dar 2\times3.
O objetivo: determinar explicitamente X.]
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (sem ainda calcular):
Para resolver X A = B multiplicamos ambos os lados pela inversa de A à direita (se existir), porque A A^{-1}=I e assim X A A^{-1}=B A^{-1} leva a X = B A^{-1}.
Condição e explicação do conceito:
Para isso precisamos que A seja invertível (isto é, \det(A)\neq0).
A inversa de uma matriz 3\times3 pode ser calculada pelo método dos cofatores/adjunta ou por eliminação de Gauss. Aqui usaremos o método dos cofatores (adjugado), que é direto para tamanho 3.
Vou então:
Calcular \det(A).
Calcular a matriz dos cofatores e a adjunta (a transposta dos cofatores).
Obter A^{-1}=(1/\det(A))\operatorname{adj}(A).
Calcular X=B\,A^{-1} por multiplicação de matrizes (produto linha por coluna).
Passo 3
Cálculo do determinante \det(A). Usando a expansão pela primeira linha:
Cálculo dos menores e cofatores (vou mostrar cada menor e o cofactor correspondente). Lembrando: o menor M_{ij} é o determinante da matriz que se obtém eliminando linha i e coluna j; o cofator C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
Calculemos cada menor e cofator:
Para (i,j)=(1,1): eliminar linha 1 coluna 1 dá \begin{pmatrix}1&0\\[2pt]1&-1\end{pmatrix}, então
Verificação rápida (opcional, para garantir que está certo): calcular X A deve devolver B. Fazendo um produto de verificação (linha por coluna) obtém-se exatamente as entradas de B. (Esta verificação foi feita durante os cálculos e confere com o enunciado.)