Em cada parte, resolva a equaçāo matricial para X.
(a) X\left[\begin{array}{rrr}-1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ 3 & 1 & -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 0 \\\\ -3 & 1 & 5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a matriz X que satisfaz a equação matricial
X\left[\begin{array}{rrr}-1 & 0 & 1 \\[4pt] 1 & 1 & 0 \\[4pt] 3 & 1 & -1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 0 \\[4pt] -3 & 1 & 5\end{array}\right].
Informações dadas e observações iniciais:
  • A matriz à direita do produto é \displaystyle A=\left[\begin{array}{rrr}-1 & 0 & 1 \\[4pt] 1 & 1 & 0 \\[4pt] 3 & 1 & -1\end{array}\right], que é 3\times3.
  • A matriz do lado direito da igualdade é \displaystyle B=\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 0 \\[4pt] -3 & 1 & 5\end{array}\right], que é 2\times3.
  • A matriz desconhecida X deve ter dimensões 2\times3, pois X(3\times3) deve dar 2\times3.
  • O objetivo: determinar explicitamente X.]

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (sem ainda calcular):
Para resolver X A = B multiplicamos ambos os lados pela inversa de A à direita (se existir), porque A A^{-1}=I e assim X A A^{-1}=B A^{-1} leva a X = B A^{-1}.
Condição e explicação do conceito:
  • Para isso precisamos que A seja invertível (isto é, \det(A)\neq0).
  • A inversa de uma matriz 3\times3 pode ser calculada pelo método dos cofatores/adjunta ou por eliminação de Gauss. Aqui usaremos o método dos cofatores (adjugado), que é direto para tamanho 3.
Vou então:
  1. Calcular \det(A).
  2. Calcular a matriz dos cofatores e a adjunta (a transposta dos cofatores).
  3. Obter A^{-1}=(1/\det(A))\operatorname{adj}(A).
  4. Calcular X=B\,A^{-1} por multiplicação de matrizes (produto linha por coluna).

Passo 3

Cálculo do determinante \det(A). Usando a expansão pela primeira linha:
\det(A)=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}).
Para A os elementos da primeira linha são a_{11}=-1, a_{12}=0, a_{13}=1. Então
\begin{aligned} a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32} &= 1\cdot(-1)-0\cdot1 = -1,\\[4pt] a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31} &= 1\cdot1-1\cdot3 = 1-3 = -2. \end{aligned}
Substituindo:
\det(A)=(-1)\cdot(-1)-0\cdot(\cdots)+1\cdot(-2)=1-2=-1.
Como \det(A)=-1\neq0, A é invertível. Ótimo!]

Passo 4

Cálculo dos menores e cofatores (vou mostrar cada menor e o cofactor correspondente). Lembrando: o menor M_{ij} é o determinante da matriz que se obtém eliminando linha i e coluna j; o cofator C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
Calculemos cada menor e cofator:
  • Para (i,j)=(1,1): eliminar linha 1 coluna 1 dá \begin{pmatrix}1&0\\[2pt]1&-1\end{pmatrix}, então
    M_{11}=1\cdot(-1)-0\cdot1=-1,\qquad C_{11}=(-1)^{2}M_{11}= -1.
  • Para (1,2): eliminar linha 1 coluna 2 dá \begin{pmatrix}1&0\\[2pt]3&-1\end{pmatrix},
    M_{12}=1\cdot(-1)-0\cdot3=-1,\qquad C_{12}=(-1)^{3}M_{12}= -(-1)=1.
  • Para (1,3): eliminar linha 1 coluna 3 dá \begin{pmatrix}1&1\\[2pt]3&1\end{pmatrix},
    M_{13}=1\cdot1-1\cdot3=1-3=-2,\qquad C_{13}=(-1)^{4}M_{13}=-2.
  • Para (2,1): eliminar linha 2 coluna 1 dá \begin{pmatrix}0&1\\[2pt]1&-1\end{pmatrix},
    M_{21}=0\cdot(-1)-1\cdot1=-1,\qquad C_{21}=(-1)^{3}M_{21}=-(-1)=1.
  • Para (2,2): eliminar linha 2 coluna 2 dá \begin{pmatrix}-1&1\\[2pt]3&-1\end{pmatrix},
    M_{22}=(-1)\cdot(-1)-1\cdot3=1-3=-2,\qquad C_{22}=(-1)^{4}M_{22}=-2.
  • Para (2,3): eliminar linha 2 coluna 3 dá \begin{pmatrix}-1&0\\[2pt]3&1\end{pmatrix},
    M_{23}=(-1)\cdot1-0\cdot3=-1,\qquad C_{23}=(-1)^{5}M_{23}=-(-1)=1.
  • Para (3,1): eliminar linha 3 coluna 1 dá \begin{pmatrix}0&1\\[2pt]1&0\end{pmatrix},
    M_{31}=0\cdot0-1\cdot1=-1,\qquad C_{31}=(-1)^{4}M_{31}=-1.
  • Para (3,2): eliminar linha 3 coluna 2 dá \begin{pmatrix}-1&1\\[2pt]1&0\end{pmatrix},
    M_{32}=(-1)\cdot0-1\cdot1=-1,\qquad C_{32}=(-1)^{5}M_{32}=-(-1)=1.
  • Para (3,3): eliminar linha 3 coluna 3 dá \begin{pmatrix}-1&0\\[2pt]1&1\end{pmatrix},
    M_{33}=(-1)\cdot1-0\cdot1=-1,\qquad C_{33}=(-1)^{6}M_{33}=-1.
Assim a matriz dos cofatores é
\left[\begin{array}{rrr} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\[4pt] C_{21} & C_{22} & C_{23} \\[4pt] C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr} -1 & 1 & -2 \\[4pt] 1 & -2 & 1 \\[4pt] -1 & 1 & -1 \end{array}\right].]

Passo 5

Formar a adjunta e a inversa. A adjunta (ou adjugado) de A é a transposta da matriz de cofatores:
\operatorname{adj}(A)=\left[\begin{array}{rrr} -1 & 1 & -1 \\[4pt] 1 & -2 & 1 \\[4pt] -2 & 1 & -1 \end{array}\right].
Como \det(A)=-1, a inversa é
A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)=\dfrac{1}{-1}\operatorname{adj}(A)=-\operatorname{adj}(A).
Portanto
A^{-1}=\left[\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 1 \\[4pt] -1 & 2 & -1 \\[4pt] 2 & -1 & 1 \end{array}\right].]

Passo 6

Agora calculamos X=B\,A^{-1}. Lembrete prático: cada entrada (X)_{ij} é o produto escalar da linha i de B com a coluna j de A^{-1}.
Escrevendo B e A^{-1}:
B=\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 0 \\[4pt] -3 & 1 & 5\end{array}\right],\qquad A^{-1}=\left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & 1 \\[4pt] -1 & 2 & -1 \\[4pt] 2 & -1 & 1\end{array}\right].
Calculemos linha a linha:
Linha 1 de X (linha 1 de B é [1,2,0]):
  • (X)_{11}=1\cdot1+2\cdot(-1)+0\cdot2=1-2+0=-1.
  • (X)_{12}=1\cdot(-1)+2\cdot2+0\cdot(-1)=-1+4+0=3.
  • (X)_{13}=1\cdot1+2\cdot(-1)+0\cdot1=1-2+0=-1.
Logo primeira linha de X é [-1\;,\;3\;,\;-1].
Linha 2 de X (linha 2 de B é [-3,1,5]):
  • (X)_{21}=-3\cdot1+1\cdot(-1)+5\cdot2=-3-1+10=6.
  • (X)_{22}=-3\cdot(-1)+1\cdot2+5\cdot(-1)=3+2-5=0.
  • (X)_{23}=-3\cdot1+1\cdot(-1)+5\cdot1=-3-1+5=1.
Então segunda linha de X é [6\;,\;0\;,\;1].
Portanto
X=\left[\begin{array}{rrr}-1 & 3 & -1 \\[4pt] 6 & 0 & 1\end{array}\right].]

Passo 7

Verificação rápida (opcional, para garantir que está certo): calcular X A deve devolver B. Fazendo um produto de verificação (linha por coluna) obtém-se exatamente as entradas de B. (Esta verificação foi feita durante os cálculos e confere com o enunciado.)

Resposta

\left[\begin{array}{rrr}-1 & 3 & -1 \\[4pt] 6 & 0 & 1\end{array}\right]]

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