Questão 5(2,5). Considere o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{3}. E considere o conjunto \alpha=\{(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)\}.
a. \alpha é uma base para V ?
b. Se \alpha for uma base, determine [v]_{\alpha}, onde v=(3,1,-4).
c. Considere a base, \beta, canônica do \mathbb{R}^{3} e determine [I]_{\alpha}^{\beta}.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=\mathbb{R}^3 e o conjunto \alpha=\{(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)\}. As perguntas são:
(a) \alpha é uma base de V?
(b) Se for base, determinar [v]_{\alpha} para v=(3,1,-4).
(c) Tomando \beta a base canônica de \mathbb{R}^3, determinar [I]_{\alpha}^{\beta} (a matriz da aplicação identidade, com domínio coordenado em \alpha e contradomínio coordenado em \beta).
Informações relevantes dadas:
  • Vetores de \alpha: v_1=(1,1,1), v_2=(0,1,1), v_3=(0,0,1).
  • Vetor a escrever em coordenadas de \alpha: v=(3,1,-4).
  • A base \beta é a canônica (vetores padrão (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)).

Passo 2

O que significa ser base? Um conjunto de três vetores em \mathbb{R}^3 é base se e somente se for linearmente independente (ou equivalentemente, se gerar todo \mathbb{R}^3). Uma maneira prática: formar a matriz cujas colunas são os vetores do conjunto e calcular o determinante; se o determinante for diferente de zero, as colunas são linearmente independentes.
Formo a matriz A cujas colunas são os vetores de \alpha:
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Observação (fácil de ver): A é triangular inferior com os elementos da diagonal todos iguais a 1. Para uma matriz triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal. Portanto
\det(A)=1\cdot 1\cdot 1=1\neq 0.
Como o determinante é diferente de zero, as colunas de A (isto é, os vetores de \alpha) são linearmente independentes e, por terem 3 vetores em \mathbb{R}^3, também geram \mathbb{R}^3. Assim \alpha é de facto uma base de V.]

Passo 3

Agora vamos encontrar [v]_{\alpha}\). Por definição, procuramos escalares \(c_1,c_2,c_3\) tais que \[c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3 = v.
Escrevendo em forma matricial,
A\begin{pmatrix}c_1\\[2pt]c_2\\[2pt]c_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\[2pt]1\\[2pt]-4\end{pmatrix}.
Esse é um sistema linear fácil de resolver porque A é triangular inferior. Escrevendo as equações por linhas:
\begin{cases} c_1 = 3,\\[4pt] c_1 + c_2 = 1,\\[4pt] c_1 + c_2 + c_3 = -4. \end{cases}
Resolver por substituição (back-substitution):
  • Da primeira equação obtemos c_1=3\]. - Substituindo na segunda: \(3 + c_2 = 1 \Rightarrow c_2 = 1-3 = -2.
    - Substituindo c_1 e c_2 na terceira: 3 + (-2) + c_3 = -4 \Rightarrow 1 + c_3 = -4 \Rightarrow c_3 = -5.
Assim as coordenadas de v na base \alpha são (c_1,c_2,c_3)=(3,-2,-5).]

Passo 4

Como checagem rápida (boa prática na prova): multiplico A pelo vetor de coordenadas encontrado e confirmo que volta a dar v:
A\begin{pmatrix}3\\[2pt]-2\\[2pt]-5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot3 + 0\cdot(-2) + 0\cdot(-5)\\[4pt] 1\cdot3 + 1\cdot(-2) + 0\cdot(-5)\\[4pt] 1\cdot3 + 1\cdot(-2) + 1\cdot(-5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\[2pt]1\\[2pt]-4\end{pmatrix},
que é exatamente v. Tudo consistente.]

Passo 5

Agora a parte (c): a matriz [I]_{\alpha}^{\beta} representa a aplicação identidade I: \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 vista como transformação que toma coordenadas em \alpha e devolve coordenadas em \beta. Em termos práticos, as colunas de [I]_{\alpha}^{\beta} são as coordenadas (na base \beta, isto é, as coordenadas canônicas) dos vetores da base \alpha. Mas as coordenadas canônicas de cada vetor de \alpha são justamente os próprios vetores listados. Portanto
[I]_{\alpha}^{\beta} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix},
que é exatamente a matriz A que já usamos.]

Resposta

(a) Sim, \alpha é uma base de \mathbb{R}^3.\n
(b) [v]_{\alpha}=\begin{pmatrix}3\\\ -2\\\ -5\end{pmatrix}.\n
(c) [I]_{\alpha}^{\beta}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]1 & 1 & 0\\[4pt]1 & 1 & 1\end{pmatrix}.]

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