Em cada parte, use um CAS para encontrar a soma da série, se convergir, e então confirme o resultado calculando a soma manualmente.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{3^{3 k}}{5^{k-1}}

Passo 1

O enunciado pede a soma da série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{3^{3k}}{5^{\,k-1}}
se ela convergir. O conteúdo envolvido é série geométrica e vamos precisar do teste da razão e da fórmula da soma de uma série geométrica.

Passo 2

Usando um CAS (por exemplo, Wolfram Alpha ou Maple) com o comando
Sum[3(3*k)/5(k-1), {k,1,Infinity}]
o resultado informado é que a série diverge, ou seja, não tem soma finita.

Passo 3

Manualmente, escrevemos o termo geral como
\frac{3^{3k}}{5^{\,k-1}} =3^{3k}\,5^{1-k} =27\cdot\Bigl(3^3\Bigr)^{\,k-1}\,5^{1-k} =27\cdot\Bigl(\frac{27}{5}\Bigr)^{k-1}.
Logo é uma série geométrica de primeiro termo a=27 e razão
r=\frac{27}{5}=5{,}4.
Como \lvert r\rvert>1, o teste da razão diz que a série diverge. Não há soma finita.

Resposta

A série diverge e, portanto, não possui soma.

Exercícios relacionados