Em cada parte, use um CAS para encontrar a soma da série, se convergir, e então confirme o resultado calculando a soma manualmente.
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1} 2^{k} 3^{2-k}

Passo 1

O enunciado pede para somar a série infinita
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}2^{k}3^{2-k}
usando um CAS (por exemplo Mathematica, Maple ou outro) e depois confirmar esse resultado com cálculo manual. O conteúdo principal é identificação e soma de uma série geométrica.

Passo 2

Se inserirmos no CAS o comando correspondente, por exemplo em Mathematica
\text{Sum[}(-1)^{k+1}2^{k}3^{2-k},\{k,1,\infty\}\text{]}
o resultado retornado é
\frac{18}{5}.

Passo 3

Agora vamos simplificar o termo geral para enxergar a forma geométrica. Note que
3^{2-k}=3^{2}\cdot3^{-k}=9\cdot3^{-k}
então
(-1)^{k+1}2^{k}3^{2-k} =9\;(-1)^{k+1}\,\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{k}.
Reescrevendo,
(-1)^{k+1}\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{k} =-\;\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)^{k},
logo o termo geral vira
9\;\bigl[\,(-1)^{k+1}(2/3)^{k}\bigr] =-9\;\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)^{k}.

Passo 4

Assim a série original se torna
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}2^{k}3^{2-k} =-9\sum_{k=1}^{\infty}\Bigl(-\tfrac{2}{3}\Bigr)^{k}.
Isto é uma série geométrica com razão
r=-\tfrac{2}{3}.

Passo 5

Verificamos que \lvert r\rvert=\tfrac{2}{3}<1, então a série converge e sua soma (para k de 1 a \infty) é
\sum_{k=1}^{\infty}r^{k} =\frac{r}{1-r}.
Aplicando isso,
\sum_{k=1}^{\infty}\Bigl(-\tfrac{2}{3}\Bigr)^{k} =\frac{-\tfrac{2}{3}}{1-(-\tfrac{2}{3})} =\frac{-\tfrac{2}{3}}{1+\tfrac{2}{3}} =\frac{-\tfrac{2}{3}}{\tfrac{5}{3}} =-\frac{2}{5}.
Multiplicando pelo fator -9, obtemos
-9\;\Bigl(-\frac{2}{5}\Bigr) =\frac{18}{5},
confirmando o valor do CAS.

Resposta

\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}2^{k}3^{2-k} = \frac{18}{5}.

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