Para cada polinômio característico a seguir, aplique o critério de Routh e verifique se o sistema é estável ou instável. No caso de ser instável, diga quantas raizes estão no semiplano direito do plano s, e quantas estão no semiplano esquerdo desse plano.
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Passo 1
Beleza, olha só o que o exercício pede: “Temos o polinômio característico
e a gente precisa aplicar o critério de Routh pra ver se o sistema é estável ou não. Se for instável, contar quantas raízes estão no semiplano direito (Re (s)>0) e quantas no esquerdo (Re (s)<0).
Conteúdo: critério de estabilidade de Routh–Hurwitz.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Montar a tabela de Routh (ou “array de Routh”).
- Calcular cada entrada usando a fórmula do critério.
- Contar variações de sinal na primeira coluna para saber quantas raízes ficam no semiplano direito.
Passo 2
Primeiro, criamos as duas primeiras linhas da tabela de Routh com os coeficientes do polinômio:
Linha s^4: pegamos os coeficientes de grau 4, 2, 0 → 1 3 5
Linha s^3: pegamos os coeficientes de grau 3, 1, “-1” → 2 4 0
Linha s^3: pegamos os coeficientes de grau 3, 1, “-1” → 2 4 0
Ou seja:
| s^4 | 1 | 3 | 5 |
| s^3 | 2 | 4 | 0 |
| s^4 | 1 | 3 | 5 |
| s^3 | 2 | 4 | 0 |
Aqui a ideia é organizar em colunas:
Coluna 1: 1 (de s^4), 2 (de s^3)
Coluna 2: 3, 4
Coluna 3: 5, 0
Coluna 1: 1 (de s^4), 2 (de s^3)
Coluna 2: 3, 4
Coluna 3: 5, 0
Passo 3
Agora calculamos a linha s^2. A fórmula geral para o primeiro elemento dessa linha é
Isso dá
E pro segundo elemento:
Então a linha s^2 é: 1 5.
Agora a linha s^1. De novo, pegamos a mesma fórmula mas usando os números de s^3 e s^2:
E o segundo elemento vira zero porque não tem mais coluna. Logo: -6 0.
Por fim, a linha s^0 é sempre o último coeficiente (aqui 5).
Nossa tabela completa fica:
Linha | Col1 | Col2 | Col3 |
---|---|---|---|
s^4 | 1 | 3 | 5 |
s^3 | 2 | 4 | 0 |
s^2 | 1 | 5 | — |
s^1 | −6 | 0 | — |
s^0 | 5 | — | — |
Passo 4
Pra ver estabilidade, contamos quantas vezes a coluna 1 muda de sinal ao descer:
1 (s^4) → +
2 (s^3) → + (sem mudança)
1 (s^2) → + (sem mudança)
−6 (s^1) → − (1ª mudança!)
5 (s^0) → + (2ª mudança!)
1 (s^4) → +
2 (s^3) → + (sem mudança)
1 (s^2) → + (sem mudança)
−6 (s^1) → − (1ª mudança!)
5 (s^0) → + (2ª mudança!)
Duas mudanças de sinal significam 2 raízes com parte real positiva (no semiplano direito). As outras 2 raízes ficam com parte real negativa (já que o grau é 4, total de raízes).
Resposta
O sistema é instável. Há 2 raízes no semiplano direito (Re (s)>0) e 2 raízes no semiplano esquerdo (Re (s)<0).