Considerando
, sendo
, estude a estabilidade em malha fechada com realimentação unitária das funções de transferência mostradas abaixo utilizando o critério de Nyquist. Faça a análise para
grandes e pequenos.
Passo 1
Beleza, resumindo a questão: a gente tem um controlador simples
com ganho positivo, realimentação unitária e a planta
O que pedem é usar o critério de Nyquist para ver quando o sistema em malha fechada fica estável, examinando casos de
pequeno e
grande.
Conteúdo que vamos usar:
Conteúdo que vamos usar:
- Critério de Nyquist (contagem de encirclements de
no diagrama de ). - Identificação de polos/zeros em semiplano direito.
- Caracterização da curva de Nyquist de
.
Passo 2
Primeiro, escreve a função de malha aberta:
Polos de
:
(todos no semiplano esquerdo ou na origem).
Zeros de :
(eixo imaginário).
Pelos polos de não há nenhum em
, logo
. No critério de Nyquist,
, onde
é o número de voltas de
ao redor de
. Se a gente mostrar que
para todo
, o sistema estável para todo
.
Zeros de
Pelos polos de
Passo 3
Vamos traçar mentalmente (e analisar) o diagrama de Nyquist de
para
de
a
:
- Quando
, Então o ponto inicial fica lá em . - Quando
, o grau do denominador (3) é maior que o do numerador (2), então . O diagrama volta pro zero. - No meio disso, a curva cruza o eixo real quando
.
Passo 4
Então achamos
tal que
. Com cálculo (ou separando parte real e imaginária) chega-se a
Nesse ponto a parte real vale
Ou seja, o diagrama cruza o eixo real em
.
Passo 5
Agora: ao multiplicar por
, esse ponto de cruzamento fica em
. Não importa se
é pequeno ou grande, esse cruzamento continua no semieixo real positivo. A curva de Nyquist nunca passa para a esquerda de
, nem envolve o ponto
. Logo o número de voltas
.
Pelo critério de Nyquist:
onde
é a quantidade de polos em
do laço fechado. Como
, o sistema em malha fechada é estável.
Resposta
O sistema em malha fechada é estável para todo
, tanto para ganhos pequenos quanto para ganhos grandes.