Considerando C(s)=K, sendo K>0, estude a estabilidade em malha fechada com realimentação unitária das funções de transferência mostradas abaixo utilizando o critério de Nyquist. Faça a análise para K grandes e pequenos.
G(s)=s^2+36s(s+5)(s+10)

Passo 1

Beleza, resumindo a questão: a gente tem um controlador simples G(s)=s^2+36s,(s+5),(s+10) com ganho positivo, realimentação unitária e a planta
O que pedem é usar o critério de Nyquist para ver quando o sistema em malha fechada fica estável, examinando casos de pequeno e grande.
Conteúdo que vamos usar:
  • Critério de Nyquist (contagem de encirclements de no diagrama de ).
  • Identificação de polos/zeros em semiplano direito.
  • Caracterização da curva de Nyquist de .

Passo 2

Primeiro, escreve a função de malha aberta:
L(s)=K,G(s)=K;s^2+36s,(s+5),(s+10)
Polos de : (todos no semiplano esquerdo ou na origem).
Zeros de : (eixo imaginário).
Pelos polos de não há nenhum em , logo . No critério de Nyquist, , onde é o número de voltas de ao redor de . Se a gente mostrar que para todo , o sistema estável para todo .

Passo 3

Vamos traçar mentalmente (e analisar) o diagrama de Nyquist de G(jomega)approx36jomegacdot5cdot10=-j;3650,omega;to -jinfty para de a :
  • Quando , Então o ponto inicial fica lá em .
  • Quando , o grau do denominador (3) é maior que o do numerador (2), então . O diagrama volta pro zero.
  • No meio disso, a curva cruza o eixo real quando .

Passo 4

Então achamos omegac=raiz50approx7,07rad/s tal que Gl(jomegacr) =36-omegac^2omegacraizomegac^2+25,raizomegac^2+100 =-147,07cdot8,66cdot12,25approx0,0229 . Com cálculo (ou separando parte real e imaginária) chega-se a
Nesse ponto a parte real vale
Ou seja, o diagrama cruza o eixo real em .

Passo 5

Agora: ao multiplicar por Z=N-P=0-0=0, , esse ponto de cruzamento fica em . Não importa se é pequeno ou grande, esse cruzamento continua no semieixo real positivo. A curva de Nyquist nunca passa para a esquerda de , nem envolve o ponto . Logo o número de voltas .
Pelo critério de Nyquist:
onde é a quantidade de polos em do laço fechado. Como , o sistema em malha fechada é estável.

Resposta

O sistema em malha fechada é estável para todo , tanto para ganhos pequenos quanto para ganhos grandes.

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