s(s+10)
\end{gathered}
$$
O controlador proporcional atua diretamente no sinal de erro multiplicando-o pelo ganho Kp .
Determine o valor adequado de Kp para que o sistema tenha um coeficiente de amortecimento zeta .
Apresente seus cálculos e a justificativa para a escolha do valor de Kp.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos uma planta
G(s)=1s,(s+10)
em malha fechada com um controlador proporcional de ganho .
O objetivo é escolher de modo que o coeficiente de amortecimento do sistema seja .
Matéria envolvida: teoria de sistemas de segunda ordem, função de transferência em malha fechada e coeficiente de amortecimento.
O que vamos precisar:
- Montar a equação característica do sistema em malha fechada;
- Comparar com a forma padrão de um sistema de 2º ordem;
- Usar a relação entre coeficiente de amortecimento , frequência natural e os coeficientes da equação.

Passo 2

Primeiro, a função de transferência em malha fechada com ganho T(s);=;Kp,G(s)1 + Kp,G(s) ;=; Kp/l(s(s+10)r)1 + Kp/l(s(s+10)r) ;=; Kps(s+10) + Kp e realimentação unitária é
s(s+10) + Kp = 0 Longrightarrow s^2 + 10,s + Kp = 0
A equação que anula o denominador (e define a resposta livre) é a equação característica:

Passo 3

Agora, lembrando a forma padrão de um sistema de segunda ordem:
s^2 + 2,zeta,omegan,s + omegan^2 = 0,
onde
  • s^2 + 10,s + Kp = 0, é o coeficiente de amortecimento,
  • é a frequência natural.
Comparando com
vemos que:
  1. ,
  2. .

Passo 4

Como queremos 2cdot 0,707;omegan = 10 Longrightarrow omegan = 102cdot0,707 = 101,414 approx 7,07 , da primeira relação:
Kp = omegan^2 approx (7,07)^2 approx 50
Daí, pela segunda relação,

Resposta

O valor adequado do ganho proporcional é
boxedKp approx 50,
para que o sistema tenha coeficiente de amortecimento .

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