Em cada problema resolva e encontre o intervalo na qual a solução existe.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial do tipo
com a condição inicial
. Nosso objetivo é resolver essa equação e descobrir em qual intervalo a solução existe. Para isso, vamos usar o método das equações lineares de primeira ordem, que envolve encontrar um fator integrante para simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Dividindo ambos os lados da equação original por
, temos:
Então, podemos escrever:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Para resolver essa integral, vamos usar frações parciais. Vamos decompor
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para encontrar
e
, escolhemos valores de
:
- Se
:
- Se
:
Então, temos:
Passo 4
Agora, podemos calcular o fator integrante
:
Simplificando as logaritmos:
Para simplificar, podemos escrever:
Passo 5
Multiplicamos a equação diferencial original pelo fator integrante
:
Como
, a equação fica:
Integrando ambos os lados:
onde
é a constante de integração. Então, a solução geral é:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Aqui, temos uma complicação porque
é uma raiz complexa. Isso sugere que há algo errado ou precisamos reconsiderar o intervalo de validade da solução real.
Passo 7
Analisando a equação original
, vemos que os pontos
e
tornam o denominador zero, o que significa que a solução só é válida em intervalos onde
. Como a condição inicial é
, que está entre
e
, o intervalo de existência da solução real é
.
Resposta
A solução da equação diferencial é
com
. Contudo, considerando valores reais e a condição inicial
, a solução válida no intervalo
é:
E o intervalo onde a solução existe é
.