Encontre a série de Maclaurin de f(x) usando as séries conhecidas.
f(x) = arctg(x^3).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a série de Maclaurin para a função . A série de Maclaurin é uma forma de expressar funções como uma soma infinita de termos de potências de . Para isso, vamos usar a série conhecida da função e adaptá-la para .

Passo 2

Vamos lembrar qual é a série de Maclaurin para . A série de Maclaurin para é dada por:
Essa série é válida para .

Passo 3

Agora, queremos a série de Maclaurin para . Para isso, substituímos por na série que acabamos de lembrar. Isso significa que toda vez que vemos um na série original, vamos colocar .
Então, substituindo:

Passo 4

Vamos simplificar os termos da série. Calculando as potências de :
Portanto, a série fica:

Passo 5

Para deixar a série mais clara, podemos escrever os primeiros termos:

Resposta

A série de Maclaurin para é:

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