Para cada problema a seguir, determine a equação diferencial correspondente, encontre a sua solução geral (identifique o termo permanente e o termo transiente) e resolva o problema de valor inicial pedido:
Uma fonte de tensão de 30 volts e aplicada a um circuito em série RL, no qual a indutância é de 0,1 henry e a resistência é de 50 ohms. Determine a intensidade da corrente elétrica nesse circuito, num instante $t$, sabendo que a corrente é nula ao ligar a chave do circuito. Qual é o valor da corrente elétrica no circuito depois de longo tempo ligado?
Resposta: $i(t)=3 / 5-(3 / 5) e^{-500 t} ; i=3 / 5\$ ampères
Uma fonte de tensão de 30 volts e aplicada a um circuito em série RL, no qual a indutância é de 0,1 henry e a resistência é de 50 ohms. Determine a intensidade da corrente elétrica nesse circuito, num instante $t$, sabendo que a corrente é nula ao ligar a chave do circuito. Qual é o valor da corrente elétrica no circuito depois de longo tempo ligado?
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
- Pede: (a) formular a equação diferencial que descreve o circuito RL; (b) encontrar a solução geral e identificar o termo permanente (estado estacionário) e o termo transiente; (c) resolver o problema de valor inicial com
; (d) dizer o valor da corrente depois de longo tempo ligado. - Dados fornecidos: fonte de tensão
volts, indutância henry, resistência , corrente inicial , circuito em série RL ligado a uma fonte DC constante.
Passo 2
Montando a equação diferencial usando a Lei de Kirchhoff (somatório das quedas de tensão = tensão da fonte).
- A queda de tensão no indutor é dada por
, onde é a corrente e sua derivada temporal. Aqui mede a oposição do indutor à variação de corrente. - A queda de tensão no resistor é
, pela Lei de Ohm. - Somando essas quedas e igualando à tensão da fonte
obtemos a equação:
Agora substituímos os valores dados (peguei esses números do enunciado):
,
,
. Assim:
Passo 3
Colocando a equação em forma padrão e interpretando:
- Dividindo por
para obter a forma padrão de uma EDO linear de 1ª ordem:
- Com os números:
e . Logo a EDO fica
Explicação do método para resolver: esta é uma EDO linear de 1ª ordem com coeficiente constante. A solução geral é soma da solução da homogênea (transiente) e uma solução particular (permanente). A homogênea é obtida anulando o termo forçante.
Passo 4
Resolver a equação homogênea (transiente):
- Equação homogênea:
- Esta separável ou com coeficiente constante tem solução
onde
é constante arbitrária (determinar depois com a condição inicial). Esse termo é o transiente: ele envolve
que decai rapidamente para zero quando
.
Passo 5
Encontrar uma solução particular (termo permanente):
- Como o termo forçante é constante
, procuramos uma solução particular constante . Substituindo constante em dá
- Esse
é o termo permanente (estado estacionário): não depende do tempo e representa a corrente quando o transiente já morreu.
Passo 6
Solução geral da EDO e identificação dos termos:
- A solução geral é soma do permanente com o transiente:
- Termo permanente:
. - Termo transiente:
(decai para zero quando ).
Passo 7
Aplicar a condição inicial
para determinar
:
- Em
:
- Portanto a solução com a condição inicial é
Passo 8
Interpretar o comportamento no longo prazo:
- O termo transiente é
que tende a zero quando . - Assim a corrente depois de longo tempo vale o termo permanente:
- Observação física rápida: o indutor inicialmente se opõe à variação da corrente (transiente), mas depois de tempo grande atua como curto-circuito para DC e a corrente é simplesmente
A.