Para cada problema a seguir, determine a equação diferencial correspondente, encontre a sua solução geral (identifique o termo permanente e o termo transiente) e resolva o problema de valor inicial pedido:
Uma fonte de tensão de 30 volts e aplicada a um circuito em série RL, no qual a indutância é de 0,1 henry e a resistência é de 50 ohms. Determine a intensidade da corrente elétrica nesse circuito, num instante $t$, sabendo que a corrente é nula ao ligar a chave do circuito. Qual é o valor da corrente elétrica no circuito depois de longo tempo ligado?
Resposta: $i(t)=3 / 5-(3 / 5) e^{-500 t} ; i=3 / 5\$ ampères

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
  • Pede: (a) formular a equação diferencial que descreve o circuito RL; (b) encontrar a solução geral e identificar o termo permanente (estado estacionário) e o termo transiente; (c) resolver o problema de valor inicial com i(0)=0; (d) dizer o valor da corrente depois de longo tempo ligado.
  • Dados fornecidos: fonte de tensão 30 volts, indutância L=0,1 henry, resistência R=50\:\Omega, corrente inicial i(0)=0, circuito em série RL ligado a uma fonte DC constante.

Passo 2

Montando a equação diferencial usando a Lei de Kirchhoff (somatório das quedas de tensão = tensão da fonte).
  • A queda de tensão no indutor é dada por \,L\frac{di}{dt}, onde \,i(t) é a corrente e \frac{di}{dt} sua derivada temporal. Aqui L mede a oposição do indutor à variação de corrente.
  • A queda de tensão no resistor é \,R\,i(t), pela Lei de Ohm.
  • Somando essas quedas e igualando à tensão da fonte V obtemos a equação:
L\frac{di}{dt}+R\,i(t)=V.
Agora substituímos os valores dados (peguei esses números do enunciado): L=0,1, R=50, V=30. Assim:
0,1\frac{di}{dt}+50\,i(t)=30.

Passo 3

Colocando a equação em forma padrão e interpretando:
  • Dividindo por L=0,1 para obter a forma padrão de uma EDO linear de 1ª ordem:
\frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i(t)=\frac{V}{L}.
  • Com os números: \frac{R}{L}=\dfrac{50}{0,1}=500 e \dfrac{V}{L}=\dfrac{30}{0,1}=300. Logo a EDO fica
\frac{di}{dt}+500\,i(t)=300.
Explicação do método para resolver: esta é uma EDO linear de 1ª ordem com coeficiente constante. A solução geral é soma da solução da homogênea (transiente) e uma solução particular (permanente). A homogênea é obtida anulando o termo forçante.

Passo 4

Resolver a equação homogênea (transiente):
  • Equação homogênea:
\frac{di}{dt}+500\,i(t)=0.
  • Esta separável ou com coeficiente constante tem solução
i_h(t)=C e^{-500 t},
onde C é constante arbitrária (determinar depois com a condição inicial). Esse termo é o transiente: ele envolve e^{-500 t} que decai rapidamente para zero quando t\to\infty.

Passo 5

Encontrar uma solução particular (termo permanente):
  • Como o termo forçante é constante 300, procuramos uma solução particular constante i_p. Substituindo i_p constante em \frac{di}{dt}+500i=300
500\,i_p=300 \quad\Rightarrow\quad i_p=\frac{300}{500}=\frac{3}{5}.
  • Esse i_p=\dfrac{3}{5} é o termo permanente (estado estacionário): não depende do tempo e representa a corrente quando o transiente já morreu.

Passo 6

Solução geral da EDO e identificação dos termos:
  • A solução geral é soma do permanente com o transiente:
i(t)=i_p+i_h(t)=\frac{3}{5}+C e^{-500 t}.
  • Termo permanente: \dfrac{3}{5}.
  • Termo transiente: C e^{-500 t} (decai para zero quando t\to\infty).

Passo 7

Aplicar a condição inicial i(0)=0 para determinar C:
  • Em t=0:
i(0)=\frac{3}{5}+C e^{0}=\frac{3}{5}+C=0 \quad\Rightarrow\quad C=-\frac{3}{5}.
  • Portanto a solução com a condição inicial é
i(t)=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}e^{-500 t}.

Passo 8

Interpretar o comportamento no longo prazo:
  • O termo transiente é -\dfrac{3}{5}e^{-500 t} que tende a zero quando t\to\infty.
  • Assim a corrente depois de longo tempo vale o termo permanente:
i(\infty)=\frac{3}{5}\\ \text{A}.
  • Observação física rápida: o indutor inicialmente se opõe à variação da corrente (transiente), mas depois de tempo grande atua como curto-circuito para DC e a corrente é simplesmente V/R=30/50=3/5 A.

Resposta

0,1\frac{di}{dt}+50\,i=30
i_{\text{geral}}(t)=\frac{3}{5}+C e^{-500 t}\quad\text{(termo permanente } \frac{3}{5},\\ \text{transiente } C e^{-500 t})
i(t)=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}e^{-500 t}
i(\infty)=\frac{3}{5}\\ \text{A}

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