Um tanque contém 200 litros de fluido no qual foram dissolvidos 30 g de magnésio. Cerca de 1 g de magnésio por litro é bombeado para dentro do tanque, numa taxa de 4 litros/min. Essa solução de fluido e magnésio é misturada e bombeada para fora do tanque na mesma taxa de 4 litros $/ \\mathrm{min}$. Determine quantos gramas de magnésio há dentro do tanque após 50 min .
Resposta: 200 +170/e gramas

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede quantos gramas de magnésio há no tanque após 50 minutos:
  • Volume do tanque: 200 litros (constante, pois a vazão de entrada é igual à de saída).
  • Quantidade inicial de magnésio: 30 gramas.
  • Solução que entra: concentração de magnésio 1 grama por litro.
  • Vazão de entrada: 4 litros por minuto.
  • Vazão de saída: 4 litros por minuto (a mesma, portanto o volume do tanque permanece 200 L).
  • Mistura homogênea instantânea (a concentração no tanque é uniforme).
    O que se pede: a quantidade de magnésio, em gramas, dentro do tanque no instante t=50 minutos.

Passo 2

Definimos a variável que vamos estudar:
  • Seja y(t) a quantidade de magnésio (em gramas) no tanque no tempo t (em minutos).
    Vou explicar a ideia do modelo: a variação de y no tempo é sempre “entrada menos saída” de magnésio, medida em gramas por minuto. Então montamos uma equação diferencial do tipo
\frac{dy}{dt} = (\text{taxa de entrada de Mg}) - (\text{taxa de saída de Mg}).í

Passo 3

Calculemos as taxas:
  • Taxa de entrada de magnésio = vazão de entrada \times concentração da entrada.
    Isso dá \;4\\ \mathrm{L/min}\times 1\\ \mathrm{g/L}=4\\ \mathrm{g/min}.
  • Taxa de saída de magnésio = vazão de saída \times concentração no tanque.
    A concentração no tanque em \mathrm{g/L} é \dfrac{y(t)}{200}. Assim a taxa de saída é 4\\ \mathrm{L/min}\times \frac{y(t)}{200}\\ \mathrm{g/L} = \frac{4}{200}\,y(t)=\frac{1}{50}\,y(t)\\ \mathrm{g/min}.
Portanto a equação diferencial que descreve o problema é
\frac{dy}{dt} = 4 - \frac{1}{50}\,y(t),
com condição inicial \;y(0)=30.

Passo 4

Agora vamos resolver essa equação diferencial linear de primeira ordem. Reescrevendo em forma padrão:
\frac{dy}{dt} + \frac{1}{50}y = 4.
Explico o método do fator integrante (é um jeito sistemático): o fator integrante é
\mu(t) = e^{\int \frac{1}{50}\,dt} = e^{t/50}.
Multiplicando a equação por \mu(t) obtemos
e^{t/50}\frac{dy}{dt} + \frac{1}{50} e^{t/50} y = 4 e^{t/50},
que é exatamente a derivada do produto y e^{t/50}. Ou seja,
\frac{d}{dt}\bigl(y e^{t/50}\bigr) = 4 e^{t/50}.
Integramos ambos os lados em t:
y e^{t/50} = \int 4 e^{t/50}\,dt = 4\cdot 50\, e^{t/50} + C = 200\,e^{t/50} + C,
onde C é a constante de integração. Aplicando a condição inicial y(0)=30:
30 \cdot e^{0} = 200\cdot e^{0} + C \quad\Rightarrow\quad C = 30-200 = -170.
Assim
y e^{t/50} = 200 e^{t/50} - 170,
e isolando y obtemos a solução explícita
y(t) = 200 - 170 e^{-t/50}.
Uma interpretação rápida: 200 é o valor de equilíbrio (quando entrada = saída), e a diferença inicial (30-200)=-170 decai exponencialmente com constante de tempo 50 minutos.

Passo 5

Agora avaliamos em t=50 minutos:
y(50) = 200 - 170 e^{-50/50} = 200 - 170 e^{-1} = 200 - \frac{170}{e}.
Se quiser aproximar numericamente: e\approx 2{,}71828 então 170/e\approx 62{,}546 e y(50)\approx 137{,}454 g. Mas a forma exata é melhor para a prova.

Resposta

200 - \dfrac{170}{e}\\ \text{g}

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