Um tanque contém 200 litros de fluido no qual foram dissolvidos 30 g de magnésio. Cerca de 1 g de magnésio por litro é bombeado para dentro do tanque, numa taxa de 4 litros/min. Essa solução de fluido e magnésio é misturada e bombeada para fora do tanque na mesma taxa de 4 litros $/ \\mathrm{min}$. Determine quantos gramas de magnésio há dentro do tanque após 50 min .
Resposta: 200 +170/e gramas
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede quantos gramas de magnésio há no tanque após
minutos:
- Volume do tanque:
litros (constante, pois a vazão de entrada é igual à de saída). - Quantidade inicial de magnésio:
gramas. - Solução que entra: concentração de magnésio
grama por litro. - Vazão de entrada:
litros por minuto. - Vazão de saída:
litros por minuto (a mesma, portanto o volume do tanque permanece L). - Mistura homogênea instantânea (a concentração no tanque é uniforme).
O que se pede: a quantidade de magnésio, em gramas, dentro do tanque no instanteminutos.
Passo 2
Definimos a variável que vamos estudar:
- Seja
a quantidade de magnésio (em gramas) no tanque no tempo (em minutos).
Vou explicar a ideia do modelo: a variação deno tempo é sempre “entrada menos saída” de magnésio, medida em gramas por minuto. Então montamos uma equação diferencial do tipo
Passo 3
Calculemos as taxas:
- Taxa de entrada de magnésio = vazão de entrada
concentração da entrada.
Isso dá - Taxa de saída de magnésio = vazão de saída
concentração no tanque.
A concentração no tanque emé . Assim a taxa de saída é
Portanto a equação diferencial que descreve o problema é
com condição inicial
.
Passo 4
Agora vamos resolver essa equação diferencial linear de primeira ordem. Reescrevendo em forma padrão:
Explico o método do fator integrante (é um jeito sistemático): o fator integrante é
Multiplicando a equação por
obtemos
que é exatamente a derivada do produto
. Ou seja,
Integramos ambos os lados em
:
onde
é a constante de integração. Aplicando a condição inicial
:
Assim
e isolando
obtemos a solução explícita
Uma interpretação rápida:
é o valor de equilíbrio (quando entrada = saída), e a diferença inicial
decai exponencialmente com constante de tempo
minutos.
Passo 5
Agora avaliamos em
minutos:
Se quiser aproximar numericamente:
então
e
g. Mas a forma exata é melhor para a prova.