Para cada problema a seguir, determine a equação diferencial correspondente, encontre a sua solução geral (identifique o termo permanente e o termo transiente) e resolva o problema de valor inicial pedido:
Uma máquina, dentro de um recinto com temperatura ambiente de $10^{\circ} \mathrm{F}$, é desligada e sua temperatura é de $70^{\circ} \mathrm{F}$. Após meio minuto, a temperatura da máquina é de $50^{\circ} \mathrm{F}$. Qual é a temperatura da máquina após 1 minuto? Quanto tempo levará para a temperatura da máquina atingir $15^{\circ} \mathrm{F}$ ?
O enunciado dá as seguintes informações e faz as seguintes perguntas.
Informação: temperatura ambiente (temperatura do recinto) é T_a=10^\circ\mathrm{F}.
Informação: no instante em que a máquina é desligada (tomamos esse instante como t=0), a temperatura da máquina é T(0)=70^\circ\mathrm{F}.
Informação: após meio minuto (isto é, em t=0{,}5 minutos) a temperatura é T(0{,}5)=50^\circ\mathrm{F}.
Pedido 1: qual é a temperatura da máquina após 1 minuto (isto é, calcular T(1))?
Pedido 2: quanto tempo leva (valor de t em minutos) para a temperatura da máquina atingir 15^\circ\mathrm{F}?
Passo 2
Modelo físico e equação diferencial.
A situação descreve resfriamento para perto da temperatura ambiente; o modelo usado é a lei de resfriamento exponencial (Lei de Newton do resfriamento), que diz que a taxa de variação da temperatura da máquina é proporcional à diferença entre a temperatura da máquina e a temperatura ambiente. Escrevendo em forma de equação diferencial:
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T - T_a\bigr),
onde:
T(t) é a temperatura da máquina no instante t (em minutos),
T_a é a temperatura ambiente (aqui T_a=10^\circ\mathrm{F}),
k>0 é a constante positiva de proporcionalidade (taxa de resfriamento).
Esta é a equação diferencial que descreve o problema.
Passo 3
Resolver a equação diferencial (separação de variáveis).
Começamos escrevendo a equação de forma separável:
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T - T_a\bigr).
Separamos variáveis:
\frac{dT}{T - T_a} = -k\,dt.
Integramos ambos os lados (integrais indefinidas):
\int \frac{dT}{T - T_a} = \int -k\,dt.
A integral do lado esquerdo é \ln|T-T_a| e a do lado direito é -kt + C. Assim:
\ln\bigl|T - T_a\bigr| = -kt + C,
onde C é constante de integração. Exponenciando:
\bigl|T - T_a\bigr| = e^{C} e^{-kt}.
Como T-T_a tem sinal conhecido (a máquina está mais quente que o ambiente inicialmente), podemos eliminar o valor absoluto e escrever a solução geral como
T(t) = T_a + C_1 e^{-kt},
onde C_1 é uma constante real (positiva se T(0)>T_a).
Passo 4
Interpretação: termo permanente e termo transiente.
Na solução geral
T(t) = T_a + C_1 e^{-kt},
O termo permanente (valor de regime quando t\to\infty) é T_a. Isso faz sentido fisicamente: com tempo suficiente, a máquina tende à temperatura ambiente.
O termo transiente é C_1 e^{-kt}. Ele decai exponencialmente para zero quando t\to\infty, controlado pela taxa k. É ele que descreve o resfriamento inicial.
Passo 5
Usar a condição inicial T(0)=70^\circ\mathrm{F} para achar C_1.
Plugando t=0 em T(t)=T_a + C_1 e^{-kt}:
T(0) = T_a + C_1 e^{0} = T_a + C_1.
Logo
C_1 = T(0) - T_a.
Com os valores dados:
C_1 = 70 - 10 = 60.
Portanto a solução particular fica
T(t) = 10 + 60 e^{-kt}.
Passo 6
Determinar a constante k usando T(0{,}5)=50^\circ\mathrm{F}.
Substituindo t=0{,}5 na solução: