Para cada problema a seguir, determine a equação diferencial correspondente, encontre a sua solução geral (identifique o termo permanente e o termo transiente) e resolva o problema de valor inicial pedido:
Uma máquina, dentro de um recinto com temperatura ambiente de $10^{\circ} \mathrm{F}$, é desligada e sua temperatura é de $70^{\circ} \mathrm{F}$. Após meio minuto, a temperatura da máquina é de $50^{\circ} \mathrm{F}$. Qual é a temperatura da máquina após 1 minuto? Quanto tempo levará para a temperatura da máquina atingir $15^{\circ} \mathrm{F}$ ?
Resposta: $36,67^{\circ} \mathrm{F} ; 3,06 \\mathrm{~min}$

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz as seguintes perguntas.
  • Informação: temperatura ambiente (temperatura do recinto) é T_a=10^\circ\mathrm{F}.
  • Informação: no instante em que a máquina é desligada (tomamos esse instante como t=0), a temperatura da máquina é T(0)=70^\circ\mathrm{F}.
  • Informação: após meio minuto (isto é, em t=0{,}5 minutos) a temperatura é T(0{,}5)=50^\circ\mathrm{F}.
  • Pedido 1: qual é a temperatura da máquina após 1 minuto (isto é, calcular T(1))?
  • Pedido 2: quanto tempo leva (valor de t em minutos) para a temperatura da máquina atingir 15^\circ\mathrm{F}?

Passo 2

Modelo físico e equação diferencial.
A situação descreve resfriamento para perto da temperatura ambiente; o modelo usado é a lei de resfriamento exponencial (Lei de Newton do resfriamento), que diz que a taxa de variação da temperatura da máquina é proporcional à diferença entre a temperatura da máquina e a temperatura ambiente. Escrevendo em forma de equação diferencial:
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T - T_a\bigr),
onde:
  • T(t) é a temperatura da máquina no instante t (em minutos),
  • T_a é a temperatura ambiente (aqui T_a=10^\circ\mathrm{F}),
  • k>0 é a constante positiva de proporcionalidade (taxa de resfriamento).
Esta é a equação diferencial que descreve o problema.

Passo 3

Resolver a equação diferencial (separação de variáveis).
Começamos escrevendo a equação de forma separável:
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T - T_a\bigr).
Separamos variáveis:
\frac{dT}{T - T_a} = -k\,dt.
Integramos ambos os lados (integrais indefinidas):
\int \frac{dT}{T - T_a} = \int -k\,dt.
A integral do lado esquerdo é \ln|T-T_a| e a do lado direito é -kt + C. Assim:
\ln\bigl|T - T_a\bigr| = -kt + C,
onde C é constante de integração. Exponenciando:
\bigl|T - T_a\bigr| = e^{C} e^{-kt}.
Como T-T_a tem sinal conhecido (a máquina está mais quente que o ambiente inicialmente), podemos eliminar o valor absoluto e escrever a solução geral como
T(t) = T_a + C_1 e^{-kt},
onde C_1 é uma constante real (positiva se T(0)>T_a).

Passo 4

Interpretação: termo permanente e termo transiente.
Na solução geral
T(t) = T_a + C_1 e^{-kt},
  • O termo permanente (valor de regime quando t\to\infty) é T_a. Isso faz sentido fisicamente: com tempo suficiente, a máquina tende à temperatura ambiente.
  • O termo transiente é C_1 e^{-kt}. Ele decai exponencialmente para zero quando t\to\infty, controlado pela taxa k. É ele que descreve o resfriamento inicial.

Passo 5

Usar a condição inicial T(0)=70^\circ\mathrm{F} para achar C_1.
Plugando t=0 em T(t)=T_a + C_1 e^{-kt}:
T(0) = T_a + C_1 e^{0} = T_a + C_1.
Logo
C_1 = T(0) - T_a.
Com os valores dados:
C_1 = 70 - 10 = 60.
Portanto a solução particular fica
T(t) = 10 + 60 e^{-kt}.

Passo 6

Determinar a constante k usando T(0{,}5)=50^\circ\mathrm{F}.
Substituindo t=0{,}5 na solução:
50 = 10 + 60 e^{-k\cdot 0{,}5}.
Isolando o exponencial:
50 - 10 = 60 e^{-0{,}5k}\quad\Rightarrow\quad 40 = 60 e^{-0{,}5k}.
Logo
e^{-0{,}5k} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}.
Tomando logaritmo natural:
-0{,}5k = \ln\!\left(\frac{2}{3}\right) \quad\Rightarrow\quad k = -2\ln\!\left(\frac{2}{3}\right).
Usando a propriedade \ln\!\left(\frac{2}{3}\right) = -\ln\!\left(\frac{3}{2}\right), obtemos
k = 2\ln\!\left(\frac{3}{2}\right).
Numericamente, \ln\!\left(\tfrac{3}{2}\right)\approx 0{,}405465, então
k \approx 0{,}810930.

Passo 7

Calcular a temperatura após 1 minuto, T(1).
Usamos a solução particular com C_1=60 e k=2\ln(3/2):
T(1) = 10 + 60 e^{-k\cdot 1}.
Mas como k = 2\ln\!\left(\tfrac{3}{2}\right), temos
e^{-k} = e^{-2\ln(3/2)} = \bigl(e^{\ln(3/2)}\bigr)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-2} = \frac{1}{(3/2)^2} = \frac{1}{\tfrac{9}{4}} = \frac{4}{9}.
Portanto
T(1) = 10 + 60\cdot\frac{4}{9} = 10 + \frac{240}{9} = 10 + 26{,}666\ldots = 36{,}666\ldots^\circ\mathrm{F}.
Arredondando para duas casas decimais: T(1)\approx 36{,}67^\circ\mathrm{F}.

Passo 8

Determinar o tempo t para T(t)=15^\circ\mathrm{F}.
Partimos da solução
15 = 10 + 60 e^{-kt}.
Isolando o exponencial:
15 - 10 = 60 e^{-kt}\quad\Rightarrow\quad 5 = 60 e^{-kt}.
Assim
e^{-kt} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}.
Tomando logaritmo natural:
-kt = \ln\!\left(\frac{1}{12}\right) = -\ln(12).
Portanto
t = \frac{\ln(12)}{k}.
Usando k = 2\ln(3/2) e \ln(12)\approx 2{,}484907, com k\approx 0{,}810930, obtemos
t \approx \frac{2{,}484907}{0{,}810930} \approx 3{,}064\\ \text{min}.
Arredondando para duas casas decimais: t\approx 3{,}06\\ \mathrm{min}.

Resposta

36{,}67^\circ \mathrm{F}
3{,}06\\ \mathrm{min}

Exercícios relacionados