Para cada problema de valor inicial abaixo:
a) Classifique a equação diferencial entre: separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”.
b) Resolva a equação diferencial e determine a solução que satisfaz a condição inicial.
c) (Quando indicado) discuta a aplicação do Teorema de Existência e Unicidade (TEU).
Exercício 2. Considere o PVI
a) Classifique a equação diferencial entre: separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”.
b) Resolva a equação diferencial e determine a solução que satisfaz a condição inicial.
c) (Quando indicado) discuta a aplicação do Teorema de Existência e Unicidade (TEU).
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial (PVI):
O que é pedido:
- (a) Classificar a equação diferencial entre: separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”.
- (b) Resolver a equação e determinar a solução que satisfaz a condição inicial
. - (c) Discutir o Teorema de Existência e Unicidade (TEU), quando indicado.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A equação é de primeira ordem, expressa na forma
com . - A condição inicial é o ponto
.
Passo 2
Classificação da equação (exigência do item (a)).
Definição prática (rápida e gentil): uma equação é “separável” quando dá para escrever os termos envolvendo
de um lado e os envolvendo
do outro, isto é, na forma
.
Verificação direta:
- A equação dada é
. Isso pode ser vista como produto de uma função de com uma função de : (só de ) vezes (só de ). Então é possível separar as variáveis. - Logo, a equação é separável.
Por que não é linear? Uma equação linear de primeira ordem tem a forma
. Aqui aparece
, que não é linear em
; portanto não é linear.
Por que não é (apenas) exata? A forma usual para testar exatidão é . Mesmo se reescrever, o fator
torna a verificação de exatidão menos natural; além disso já temos separabilidade direta, que é o método mais simples aqui.
Conclusão do item (a): a equação é separável.
Por que não é (apenas) exata? A forma usual para testar exatidão é
Conclusão do item (a): a equação é separável.
Passo 3
Resolver a equação (início do item (b)). Método: separação de variáveis — vou fazer passo a passo e explicar cada integral.
Partimos de
Passo de separação: colocar todos os termos com
multiplicando
do lado esquerdo e todos os termos com
multiplicando
do lado direito. Dividindo ambos os lados por
(assumindo
; veremos a solução
separadamente) e multiplicando por
:
Comentário sobre
: se
então
e a equação é satisfeita (pois
). Ou seja,
é uma solução constante (solução estacionária). Entretanto a condição inicial é
, então a solução buscada não é essa constante.
Agora integramos ambos os lados. Lembrete de integração:
, porque a primitiva de
é
quando
. No caso
dá
.
A primitiva de em relação a
é
.
A primitiva de
Integrando:
onde
é constante de integração.
Agora isolamos
:
Passo 4
Determinar a constante
usando a condição inicial
.
Substituindo
e
na expressão implícita
:
Logo
Substituindo esse
na expressão explícita de
:
Colocando o denominador em evidência:
Portanto a solução particular que satisfaz
é
Verificação rápida (sanidade): em
obtemos
, ok. Se desejar verificar que satisfaz a ODE, calcule
e confira
— isso funciona algebraicamente.
Passo 5
Discussão do domínio da solução e do TEU (item (c)).
Singularidades da solução encontrada:
- A expressão
tem denominador zero quando , ou seja em . Nesses pontos a solução explode (tende a ) e não pode ser continuada por uma função finita. - Como estamos interessados numa solução que passa por
, o maior intervalo aberto contendo em que a solução é contínua e bem definida é
Esse é, portanto, o intervalo maximal de existência da solução particular que contém
.
Aplicação do Teorema de Existência e Unicidade:
- Tome
. Esta função é contínua em todo . - A derivada parcial em relação a
é , que também é contínua em todo . - O TEU local (para equações ordinárias de primeira ordem) afirma que, se
e são contínuas numa vizinhança do ponto inicial , então existe uma solução única passando por esse ponto, pelo menos em algum intervalo em torno de . - Como aqui
e são contínuas em todo , o TEU garante existência e unicidade local da solução que passa por . - Contudo, isso não garante existência global para todo
: a solução explicitamente encontrada mostra que ela se torna singular em . Assim há uma solução única definida pelo TEU até o ponto de explosão (à direita) e até (à esquerda). O intervalo maximal de existência contendo é, como dito, .
Comentário final encorajador: em resumo, o TEU garante que a solução é única perto de
, e a integração separada nos dá a fórmula explícita e indica exatamente onde a solução deixa de existir por explodir (quando
).
Resposta
(a) A equação é separável.
(b) A solução que satisfaz
é
definida para
(com singularidades em
). A solução constante
também existe, mas não satisfaz a condição inicial.
(c) Como
e
são contínuas em todo
, o Teorema de Existência e Unicidade garante existência e unicidade local da solução que passa por
; a solução única obtida explicitamente tem intervalo maximal de existência que contém
igual a
.