Para cada problema de valor inicial abaixo:
a) Classifique a equação diferencial entre: separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”.
b) Resolva a equação diferencial e determine a solução que satisfaz a condição inicial.
c) (Quando indicado) discuta a aplicação do Teorema de Existência e Unicidade (TEU).
Exercício 2. Considere o PVI
\frac{d y}{d x}=x y^{2}, \quad y(1)=1 .

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial (PVI):
\frac{d y}{d x}=x y^{2},\qquad y(1)=1.
O que é pedido:
  • (a) Classificar a equação diferencial entre: separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”.
  • (b) Resolver a equação e determinar a solução que satisfaz a condição inicial y(1)=1.
  • (c) Discutir o Teorema de Existência e Unicidade (TEU), quando indicado.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A equação é de primeira ordem, expressa na forma \dfrac{dy}{dx}=f(x,y) com f(x,y)=x y^{2}.
  • A condição inicial é o ponto (x_0,y_0)=(1,1).

Passo 2

Classificação da equação (exigência do item (a)).
Definição prática (rápida e gentil): uma equação é “separável” quando dá para escrever os termos envolvendo y de um lado e os envolvendo x do outro, isto é, na forma g(y)\,dy = h(x)\,dx.
Verificação direta:
  • A equação dada é \dfrac{dy}{dx}=x y^{2}. Isso pode ser vista como produto de uma função de x com uma função de y: x (só de x) vezes y^{2} (só de y). Então é possível separar as variáveis.
  • Logo, a equação é separável.
Por que não é linear? Uma equação linear de primeira ordem tem a forma \dfrac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x). Aqui aparece y^{2}, que não é linear em y; portanto não é linear.
Por que não é (apenas) exata? A forma usual para testar exatidão é M(x,y)+N(x,y)\dfrac{dy}{dx}=0. Mesmo se reescrever, o fator y^2 torna a verificação de exatidão menos natural; além disso já temos separabilidade direta, que é o método mais simples aqui.
Conclusão do item (a): a equação é separável.

Passo 3

Resolver a equação (início do item (b)). Método: separação de variáveis — vou fazer passo a passo e explicar cada integral.
Partimos de
\frac{dy}{dx}=x y^{2}.
Passo de separação: colocar todos os termos com y multiplicando dy do lado esquerdo e todos os termos com x multiplicando dx do lado direito. Dividindo ambos os lados por y^{2} (assumindo y\neq0; veremos a solução y\equiv0 separadamente) e multiplicando por dx:
\frac{dy}{y^{2}} = x\,dx.
Comentário sobre y=0: se y\equiv0 então \dfrac{dy}{dx}=0 e a equação é satisfeita (pois x\cdot 0^{2}=0). Ou seja, y\equiv0 é uma solução constante (solução estacionária). Entretanto a condição inicial é y(1)=1\neq0, então a solução buscada não é essa constante.
Agora integramos ambos os lados. Lembrete de integração: \displaystyle\int y^{-2}\,dy = \int y^{-2}\,dy = -y^{-1} + C, porque a primitiva de y^{n} é y^{n+1}/(n+1) quando n\neq-1. No caso n=-2 -1/y.
A primitiva de x em relação a x é \dfrac{x^{2}}{2}.
Integrando:
\int \frac{dy}{y^{2}} = \int x\,dx \quad\Longrightarrow\quad -\,\frac{1}{y} = \frac{x^{2}}{2} + C,
onde C é constante de integração.
Agora isolamos y:
-\,\frac{1}{y} = \frac{x^{2}}{2} + C \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{y} = -\left(\frac{x^{2}}{2} + C\right) \quad\Longrightarrow\quad y = -\frac{1}{\dfrac{x^{2}}{2} + C}.

Passo 4

Determinar a constante C usando a condição inicial y(1)=1.
Substituindo x=1 e y=1 na expressão implícita -1/y = x^{2}/2 + C:
-\,\frac{1}{1} = \frac{1^{2}}{2} + C \quad\Longrightarrow\quad -1 = \frac{1}{2} + C.
Logo
C = -1 - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}.
Substituindo esse C na expressão explícita de y:
y = -\frac{1}{\dfrac{x^{2}}{2} - \dfrac{3}{2}}.
Colocando o denominador em evidência:
y = -\frac{1}{\dfrac{x^{2}-3}{2}} = -\frac{2}{x^{2}-3} = \frac{2}{3 - x^{2}}.
Portanto a solução particular que satisfaz y(1)=1 é
y(x)=\frac{2}{3-x^{2}}.
Verificação rápida (sanidade): em x=1 obtemos y(1)=2/(3-1)=2/2=1, ok. Se desejar verificar que satisfaz a ODE, calcule y'(x) e confira y' = x y^{2} — isso funciona algebraicamente.

Passo 5

Discussão do domínio da solução e do TEU (item (c)).
Singularidades da solução encontrada:
  • A expressão y(x)=\dfrac{2}{3-x^{2}} tem denominador zero quando x^{2}=3, ou seja em x=\pm\sqrt{3}. Nesses pontos a solução explode (tende a \pm\infty) e não pode ser continuada por uma função finita.
  • Como estamos interessados numa solução que passa por x_{0}=1, o maior intervalo aberto contendo 1 em que a solução é contínua e bem definida é
(-\sqrt{3},\\ \sqrt{3}).
Esse é, portanto, o intervalo maximal de existência da solução particular que contém x=1.
Aplicação do Teorema de Existência e Unicidade:
  • Tome f(x,y)=x y^{2}. Esta função é contínua em todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
  • A derivada parcial em relação a y é \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2x y, que também é contínua em todo \mathbb{R}^{2}.
  • O TEU local (para equações ordinárias de primeira ordem) afirma que, se f e \partial f/\partial y são contínuas numa vizinhança do ponto inicial (x_{0},y_{0}), então existe uma solução única passando por esse ponto, pelo menos em algum intervalo em torno de x_{0}.
  • Como aqui f e \partial f/\partial y são contínuas em todo \mathbb{R}^{2}, o TEU garante existência e unicidade local da solução que passa por (1,1).
  • Contudo, isso não garante existência global para todo x: a solução explicitamente encontrada mostra que ela se torna singular em x=\pm\sqrt{3}. Assim há uma solução única definida pelo TEU até o ponto de explosão x=\sqrt{3} (à direita) e até x=-\sqrt{3} (à esquerda). O intervalo maximal de existência contendo x=1 é, como dito, (-\sqrt{3},\sqrt{3}).
Comentário final encorajador: em resumo, o TEU garante que a solução é única perto de x=1, e a integração separada nos dá a fórmula explícita e indica exatamente onde a solução deixa de existir por explodir (quando x^{2}=3).

Resposta

(a) A equação é separável.
(b) A solução que satisfaz y(1)=1 é y(x)=\frac{2}{3-x^{2}},
definida para x\in(-\sqrt{3},\sqrt{3}) (com singularidades em x=\pm\sqrt{3}). A solução constante y\equiv0 também existe, mas não satisfaz a condição inicial.
(c) Como f(x,y)=x y^{2} e \partial f/\partial y=2xy são contínuas em todo \mathbb{R}^{2}, o Teorema de Existência e Unicidade garante existência e unicidade local da solução que passa por (1,1); a solução única obtida explicitamente tem intervalo maximal de existência que contém 1 igual a (-\sqrt{3},\sqrt{3}).

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