Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de segunda ordem, utilizando o método dos coeficientes a determinar:
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+13 y=9 e^{2 t}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
y''-4y'+13y=9e^{2t},
e pede a solução geral y(t). Informações relevantes:
  • É uma EDO linear com coeficientes constantes e termo forçante (não homogêneo) igual a 9e^{2t}.
  • Precisamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução geral da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
y''-4y'+13y=0.
Método: assumir solução da forma y=e^{rt} e montar a equação característica. Explicação do porquê: para coeficientes constantes, substituindo y=e^{rt} transforma a EDO numa equação algébrica para r, chamada equação característica; as raízes dessa equação determinam o comportamento das soluções.
A equação característica é
r^{2}-4r+13=0.
Resolvendo usando a fórmula quadrática:
r=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^{2}-4\cdot1\cdot13}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{16-52}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{-36}}{2}=\frac{4\pm 6i}{2}=2\pm3i.
Quando as raízes são complexas conjugadas r= \alpha\pm \beta i (aqui \alpha=2, \beta=3), a forma geral das soluções reais da homogênea é
y_{h}(t)=e^{\alpha t}\big(C_{1}\cos(\beta t)+C_{2}\sin(\beta t)\big),
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias. Aplicando aos valores encontrados:
y_{h}(t)=e^{2t}\big(C_{1}\cos(3t)+C_{2}\sin(3t)\big).
Explicação rápida das constantes: C_{1} e C_{2} serão ajustadas por condições iniciais caso existam; por enquanto ficam gerais.

Passo 3

Escolher um método para encontrar uma solução particular y_{p}(t) da equação completa. O enunciado pede usar o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients). Regra prática desse método:
  • Se a parte não homogênea for um produto de polinômios, exponenciais, senos e cossenos (ou combinações), tenta-se um ansatz (chute) da mesma forma, com coeficientes constantes a determinar.
  • Se o chute colidir com uma solução da homogênea (ressonância), multiplica-se o chute por t^{m}, onde m é o menor inteiro positivo que remove a colisão.
Aqui a parte direita é 9e^{2t}. Um chute natural é
y_{p}(t)=A e^{2t},
onde A é uma constante a determinar. Antes de usar o chute, verificar ressonância: perguntar se e^{2t} pertence ao espaço das soluções homogêneas. As soluções homogêneas são e^{2t}\cos(3t) e e^{2t}\sin(3t); e^{2t} (sem seno nem cosseno) não é combinação linear dessas duas funções. Alternativamente verificar se r=2 é raiz da equação característica: substituindo r=2 em r^{2}-4r+13 4-8+13=9\neq0, portanto não é raiz e não há ressonância. Logo o chute y_{p}=A e^{2t} é apropriado.

Passo 4

Calcular y_{p}' e y_{p}'' e substituir na EDO para determinar A.
Derivadas de y_{p}(t)=A e^{2t}:
y_{p}'(t)=2A e^{2t}, \qquad y_{p}''(t)=4A e^{2t}.
Substituindo na equação y''-4y'+13y=9e^{2t}:
y_{p}''-4y_{p}'+13y_{p}=(4A e^{2t})-4(2A e^{2t})+13(A e^{2t}).
Fatorando e^{2t}:
(4A -8A +13A)e^{2t}=(9A)e^{2t}.
Igualando ao lado direito 9e^{2t} obtemos
9A e^{2t}=9 e^{2t}\quad\Rightarrow\quad 9A=9\quad\Rightarrow\quad A=1.
Portanto
y_{p}(t)=e^{2t}.

Passo 5

Somar a solução homogênea e a particular para obter a solução geral:
y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t)=e^{2t}\big(C_{1}\cos(3t)+C_{2}\sin(3t)\big)+e^{2t}.
Podemos fatorar e^{2t} se quisermos:
y(t)=e^{2t}\big(C_{1}\cos(3t)+C_{2}\sin(3t)+1\big).
Comentário final (didático e prático): em provas, siga sempre estes passos rápidos — resolver homogênea pelo caráterístico, ver se a parte forçante exige multiplicação por t (ressonância) e então substituir o chute para achar os coeficientes.

Resposta

y(t)=e^{2t}\big(C_{1}\cos(3t)+C_{2}\sin(3t)\big)+e^{2t}

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