Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de segunda ordem, utilizando o método dos coeficientes a determinar:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
e pede a solução geral
. Informações relevantes:
- É uma EDO linear com coeficientes constantes e termo forçante (não homogêneo) igual a
. - Precisamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução geral da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
Método: assumir solução da forma
e montar a equação característica. Explicação do porquê: para coeficientes constantes, substituindo
transforma a EDO numa equação algébrica para
, chamada equação característica; as raízes dessa equação determinam o comportamento das soluções.
A equação característica é
Resolvendo usando a fórmula quadrática:
Quando as raízes são complexas conjugadas
(aqui
,
), a forma geral das soluções reais da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias. Aplicando aos valores encontrados:
Explicação rápida das constantes:
e
serão ajustadas por condições iniciais caso existam; por enquanto ficam gerais.
Passo 3
Escolher um método para encontrar uma solução particular
da equação completa. O enunciado pede usar o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients). Regra prática desse método:
- Se a parte não homogênea for um produto de polinômios, exponenciais, senos e cossenos (ou combinações), tenta-se um ansatz (chute) da mesma forma, com coeficientes constantes a determinar.
- Se o chute colidir com uma solução da homogênea (ressonância), multiplica-se o chute por
, onde é o menor inteiro positivo que remove a colisão.
Aqui a parte direita é
. Um chute natural é
onde
é uma constante a determinar. Antes de usar o chute, verificar ressonância: perguntar se
pertence ao espaço das soluções homogêneas. As soluções homogêneas são
e
;
(sem seno nem cosseno) não é combinação linear dessas duas funções. Alternativamente verificar se
é raiz da equação característica: substituindo
em
dá
, portanto não é raiz e não há ressonância. Logo o chute
é apropriado.
Passo 4
Calcular
e
e substituir na EDO para determinar
.
Derivadas de
:
Substituindo na equação
:
Fatorando
:
Igualando ao lado direito
obtemos
Portanto
Passo 5
Somar a solução homogênea e a particular para obter a solução geral:
Podemos fatorar
se quisermos:
Comentário final (didático e prático): em provas, siga sempre estes passos rápidos — resolver homogênea pelo caráterístico, ver se a parte forçante exige multiplicação por
(ressonância) e então substituir o chute para achar os coeficientes.