Ache os pontos chiticos de:
f(x)=x^{3}-3 x^{2}-9 x+5

Passo 1

O enunciado pede: "Ache os pontos críticos de f(x)=x^{3}-3 x^{2}-9 x+5".
Informações dadas e observações úteis:
  • A função é um polinômio f(x)=x^{3}-3 x^{2}-9 x+5.
  • Polinômios são diferenciáveis em todo \mathbb{R}, então pontos críticos vêm apenas de f'(x)=0 (não há pontos onde a derivada não exista).
  • Precisamos encontrar as abscissas x onde f'(x)=0 e, para cada uma, o valor de f(x) para obter o ponto no plano (x,f(x)).
  • Também é interessante (e normalmente pedido) classificar cada ponto crítico como máximo local, mínimo local ou ponto de inflexão horizontal.

Passo 2

Calcular a derivada primeira f'(x). Vou usar a regra básica: a derivada de x^{n} é n x^{n-1} e a derivada de soma é soma das derivadas. Assim:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(9x\bigr)+\frac{d}{dx}(5).
Calculando termo a termo:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2},\qquad \frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}\bigr)=6x,\qquad \frac{d}{dx}\bigl(9x\bigr)=9,\qquad \frac{d}{dx}(5)=0.
Portanto,
f'(x)=3x^{2}-6x-9.

Passo 3

Resolver f'(x)=0. Primeiro fatoro a expressão para facilitar:
f'(x)=3x^{2}-6x-9=3\bigl(x^{2}-2x-3\bigr).
Agora fatoro o quadrático x^{2}-2x-3. Procuro dois números que multiplicam -3 e somam -2; são -3 e 1. Então:
x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1).
Logo
f'(x)=3(x-3)(x+1).
Igualando a zero:
3(x-3)(x+1)=0 \quad\Rightarrow\quad (x-3)(x+1)=0.
Assim as soluções são
x=3 \quad\text{e}\quad x=-1.
Portanto as abscissas dos pontos críticos são x=-1 e x=3.

Passo 4

Agora calculo as ordenadas correspondentes, ou seja f(-1) e f(3).
Calcular f(-1):
f(-1)=(-1)^{3}-3(-1)^{2}-9(-1)+5.
Passo a passo:
(-1)^{3}=-1,\qquad -3(-1)^{2}=-3(1)=-3,\qquad -9(-1)=+9.
Somando:
f(-1)=-1-3+9+5=-4+14=10.
Calcular f(3):
f(3)=3^{3}-3\cdot3^{2}-9\cdot3+5.
Passo a passo:
3^{3}=27,\qquad -3\cdot3^{2}=-3\cdot9=-27,\qquad -9\cdot3=-27.
Somando:
f(3)=27-27-27+5=0-27+5=-27+5=-22.
Assim os pontos críticos (abscissa, ordenada) são (-1,10) e (3,-22).

Passo 5

Classificar os pontos críticos (máximo local, mínimo local ou outro). Vou usar o teste da segunda derivada — é direto e prático: se f''(x_{0})>0 então f é côncava para cima ali e x_{0} é mínimo local; se f''(x_{0})<0 é côncava para baixo e x_{0} é máximo local. Explicando rapidinho: a segunda derivada mede a curvatura; positiva significa “tigela” (mínimo), negativa significa “montinho” (máximo).
Calculo f''(x):
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(f'(x)\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}-6x-9\bigr)=6x-6.

Passo 6

Avaliar f'' nos pontos críticos.
Para x=-1:
f''(-1)=6(-1)-6=-6-6=-12<0.
Como f''(-1)<0, o ponto em x=-1 é um máximo local.
Para x=3:
f''(3)=6\cdot3-6=18-6=12>0.
Como f''(3)>0, o ponto em x=3 é um mínimo local.
(como lembrete rápido e exemplo didático: para g(x)=x^{2} tem g''(x)=2>0 sempre, então x=0 é mínimo; para h(x)=-x^{2} tem h''(x)=-2<0 então x=0 é máximo — serve para fixar a ideia do teste da segunda derivada)

Resposta

(-1,10) (máximo local)
(3,-22) (mínimo local)

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