Ache os pontos chiticos de:
Passo 1
O enunciado pede: "Ache os pontos críticos de
".
Informações dadas e observações úteis:
Informações dadas e observações úteis:
- A função é um polinômio
. - Polinômios são diferenciáveis em todo
, então pontos críticos vêm apenas de (não há pontos onde a derivada não exista). - Precisamos encontrar as abscissas
onde e, para cada uma, o valor de para obter o ponto no plano . - Também é interessante (e normalmente pedido) classificar cada ponto crítico como máximo local, mínimo local ou ponto de inflexão horizontal.
Passo 2
Calcular a derivada primeira
. Vou usar a regra básica: a derivada de
é
e a derivada de soma é soma das derivadas. Assim:
Calculando termo a termo:
Portanto,
Passo 3
Resolver
. Primeiro fatoro a expressão para facilitar:
Agora fatoro o quadrático
. Procuro dois números que multiplicam
e somam
; são
e
. Então:
Logo
Igualando a zero:
Assim as soluções são
Portanto as abscissas dos pontos críticos são
e
.
Passo 4
Agora calculo as ordenadas correspondentes, ou seja
e
.
Calcular
:
Passo a passo:
Somando:
Calcular
:
Passo a passo:
Somando:
Assim os pontos críticos (abscissa, ordenada) são
e
.
Passo 5
Classificar os pontos críticos (máximo local, mínimo local ou outro). Vou usar o teste da segunda derivada — é direto e prático: se
então
é côncava para cima ali e
é mínimo local; se
é côncava para baixo e
é máximo local. Explicando rapidinho: a segunda derivada mede a curvatura; positiva significa “tigela” (mínimo), negativa significa “montinho” (máximo).
Calculo
:
Passo 6
Avaliar
nos pontos críticos.
Para
:
Como
, o ponto em
é um máximo local.
Para
:
Como
, o ponto em
é um mínimo local.
(como lembrete rápido e exemplo didático: para
tem
sempre, então
é mínimo; para
tem
então
é máximo — serve para fixar a ideia do teste da segunda derivada)