Para cada problema de valor inicial abaixo:
a) Classifique a equação diferencial entre: separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”.
b) Resolva a equação diferencial e determine a solução que satisfaz a condição inicial.
c) (Quando indicado) discuta a aplicação do Teorema de Existência e Unicidade (TEU).
Exercício 1. Resolva o PVI
y^{\prime}=\left(1+y^{2}\right) e^{x}, \quad y(0)=0 .

Passo 1

O enunciado fornece o problema de valor inicial
y'=\left(1+y^{2}\right)e^{x},\qquad y(0)=0.
As tarefas pedidas são: (a) classificar a equação diferencial; (b) resolver a EDO e determinar a solução que satisfaz a condição inicial; (c) discutir o Teorema de Existência e Unicidade se for pertinente.

Passo 2

Identificação da forma da equação (classificação).
A equação está escrita como
y'=\left(1+y^{2}\right)e^{x}.
Isto pode ser reescrito como
\frac{dy}{dx}=e^{x}\cdot\left(1+y^{2}\right).
Vê-se que o lado direito é um produto de uma função de x, e^{x}, por uma função de y, 1+y^{2}. Essa é justamente a forma de uma equação separável: \dfrac{dy}{dx}=f(x)g(y). Portanto a classe correta é: separável. (Não é linear em y porque aparece y^{2}; não é exata no sentido de M(x,y)+N(x,y)y'=0; nem é imediatamente reduzível às outras classes.)

Passo 3

Ideia do método separação de variáveis (explicação didática).
Equações separáveis resolvem-se isolando as variáveis y e x em lados opostos da igualdade, de modo que se possa integrar cada lado em relação à sua variável. Aqui podemos dividir ambos os lados por 1+y^{2} (essa quantidade nunca é zero, então a divisão é legal para todos y) e multiplicar por dx, obtendo:
\frac{dy}{1+y^{2}}=e^{x}\,dx.
Isso significa que podemos integrar o lado esquerdo em y e o direito em x.

Passo 4

Integração e uso de primitivadas (mostrar por que as primitivas são essas).
Conhecemos as primitivas básicas:
  • Uma primitiva de \dfrac{1}{1+y^{2}} em função de y é \arctan(y), pois \dfrac{d}{dy}\arctan(y)=\dfrac{1}{1+y^{2}}.
  • Uma primitiva de e^{x} em x é e^{x}.
Integrando ambos os lados:
\int\frac{dy}{1+y^{2}}=\int e^{x}\,dx
leva a
\arctan(y)=e^{x}+C,
onde C é constante de integração. Esta é a solução implícita geral da EDO.

Passo 5

Obter a solução explícita e comentar a questão dos ramos.
Da relação \arctan(y)=e^{x}+C vamos isolar y. Aplicando a função tangente (inverso de \arctan no intervalo principal) obtemos explicitamente
y=\tan\!\bigl(e^{x}+C\bigr).
Aqui é importante notar um detalhe: ao usar \arctan como primitiva usamos a rama principal de \arctan cujo valor está em \bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr). A expressão implícita \arctan(y)=e^{x}+C fixa C de forma única quando aplicamos a condição inicial, porque \arctan(0)=0 (valor na rama principal).

Passo 6

Aplicar a condição inicial para determinar a constante.
Usando y(0)=0 na forma implícita:
\arctan\bigl(y(0)\bigr)=\arctan(0)=0=e^{0}+C=1+C.
Logo
C=-1.
Portanto a solução que satisfaz a condição inicial é
y(x)=\tan\!\bigl(e^{x}-1\bigr).

Passo 7

Domínio maximal (onde a solução está bem definida e contínua).
A função tangente tem singularidades quando seu argumento é \tfrac{\pi}{2}+k\pi. O primeiro valor positivo do argumento que causa problema é
e^{x}-1=\frac{\pi}{2}\quad\Longrightarrow\quad x=\ln\!\left(1+\tfrac{\pi}{2}\right).
Para x<\ln\!\left(1+\tfrac{\pi}{2}\right) o argumento e^{x}-1 está estritamente menor que \tfrac{\pi}{2} e a função é contínua. Não existe solução contínua que passe por x\ge\ln(1+\tfrac{\pi}{2}) sem enfrentar uma singularidade da tangente. Assim o maior intervalo que contém x=0 onde a solução está definida é
\bigl(-\infty,\;\ln\!\bigl(1+\tfrac{\pi}{2}\bigr)\bigr).

Passo 8

Breve discussão do Teorema de Existência e Unicidade (TEU).
O TEU (forma padrão para EDOs de primeira ordem) diz que se f(x,y) e \partial f/\partial y são contínuas numa vizinhança do ponto inicial (x_{0},y_{0}), então existe e é única uma solução passando por esse ponto, pelo menos localmente. Aqui
f(x,y)=\bigl(1+y^{2}\bigr)e^{x}
é contínua para todos (x,y), e
\frac{\partial f}{\partial y}=2y e^{x}
também é contínua para todos (x,y). Portanto existe e é única uma solução que passa por (0,0) num intervalo em torno de 0. A solução explícita encontrada é exatamente essa; ela permanece única enquanto não ocorrer uma singularidade (isto é, até o argumento da tangente atingir \tfrac{\pi}{2}+k\pi). Portanto a unicidade local é garantida e a prolongação global falha apenas por causa do estouro da solução (blow-up) na tangente.

Resposta

(a) separável.
(b) \displaystyle y(x)=\tan\!\bigl(e^{x}-1\bigr), válida no intervalo \displaystyle x\in\bigl(-\infty,\;\ln\!\bigl(1+\tfrac{\pi}{2}\bigr)\bigr).
(c) Pelo TEU, como f(x,y)=(1+y^{2})e^{x} e \partial f/\partial y=2y e^{x} são contínuas em toda a reta, existe e é única a solução local passando por (0,0); a solução explícita acima é essa e é única enquanto não se atinge a singularidade da tangente em x=\ln\!\bigl(1+\tfrac{\pi}{2}\bigr).

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