Para cada problema de valor inicial abaixo:
a) Classifique a equação diferencial entre: separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”.
b) Resolva a equação diferencial e determine a solução que satisfaz a condição inicial.
c) (Quando indicado) discuta a aplicação do Teorema de Existência e Unicidade (TEU).
Exercício 1. Resolva o PVI
a) Classifique a equação diferencial entre: separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”.
b) Resolva a equação diferencial e determine a solução que satisfaz a condição inicial.
c) (Quando indicado) discuta a aplicação do Teorema de Existência e Unicidade (TEU).
Passo 1
O enunciado fornece o problema de valor inicial
As tarefas pedidas são: (a) classificar a equação diferencial; (b) resolver a EDO e determinar a solução que satisfaz a condição inicial; (c) discutir o Teorema de Existência e Unicidade se for pertinente.
Passo 2
Identificação da forma da equação (classificação).
A equação está escrita como
A equação está escrita como
Isto pode ser reescrito como
Vê-se que o lado direito é um produto de uma função de
,
, por uma função de
,
. Essa é justamente a forma de uma equação separável:
. Portanto a classe correta é: separável. (Não é linear em
porque aparece
; não é exata no sentido de
; nem é imediatamente reduzível às outras classes.)
Passo 3
Ideia do método separação de variáveis (explicação didática).
Equações separáveis resolvem-se isolando as variáveis e
em lados opostos da igualdade, de modo que se possa integrar cada lado em relação à sua variável. Aqui podemos dividir ambos os lados por
(essa quantidade nunca é zero, então a divisão é legal para todos
) e multiplicar por
, obtendo:
Equações separáveis resolvem-se isolando as variáveis
Isso significa que podemos integrar o lado esquerdo em
e o direito em
.
Passo 4
Integração e uso de primitivadas (mostrar por que as primitivas são essas).
Conhecemos as primitivas básicas:
Conhecemos as primitivas básicas:
- Uma primitiva de
em função de é , pois . - Uma primitiva de
em é .
Integrando ambos os lados:
leva a
onde
é constante de integração. Esta é a solução implícita geral da EDO.
Passo 5
Obter a solução explícita e comentar a questão dos ramos.
Da relação vamos isolar
. Aplicando a função tangente (inverso de
no intervalo principal) obtemos explicitamente
Da relação
Aqui é importante notar um detalhe: ao usar
como primitiva usamos a rama principal de
cujo valor está em
. A expressão implícita
fixa
de forma única quando aplicamos a condição inicial, porque
(valor na rama principal).
Passo 6
Aplicar a condição inicial para determinar a constante.
Usando na forma implícita:
Usando
Logo
Portanto a solução que satisfaz a condição inicial é
Passo 7
Domínio maximal (onde a solução está bem definida e contínua).
A função tangente tem singularidades quando seu argumento é . O primeiro valor positivo do argumento que causa problema é
A função tangente tem singularidades quando seu argumento é
Para
o argumento
está estritamente menor que
e a função é contínua. Não existe solução contínua que passe por
sem enfrentar uma singularidade da tangente. Assim o maior intervalo que contém
onde a solução está definida é
Passo 8
Breve discussão do Teorema de Existência e Unicidade (TEU).
O TEU (forma padrão para EDOs de primeira ordem) diz que se e
são contínuas numa vizinhança do ponto inicial
, então existe e é única uma solução passando por esse ponto, pelo menos localmente. Aqui
O TEU (forma padrão para EDOs de primeira ordem) diz que se
é contínua para todos
, e
também é contínua para todos
. Portanto existe e é única uma solução que passa por
num intervalo em torno de
. A solução explícita encontrada é exatamente essa; ela permanece única enquanto não ocorrer uma singularidade (isto é, até o argumento da tangente atingir
). Portanto a unicidade local é garantida e a prolongação global falha apenas por causa do estouro da solução (blow-up) na tangente.
Resposta
(a) separável.
(b) , válida no intervalo
.
(c) Pelo TEU, como e
são contínuas em toda a reta, existe e é única a solução local passando por
; a solução explícita acima é essa e é única enquanto não se atinge a singularidade da tangente em
.
(b)
(c) Pelo TEU, como