Para cada problema de valor inicial abaixo:
a) Classifique a equação diferencial entre: separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”.
b) Resolva a equação diferencial e determine a solução que satisfaz a condição inicial.
c) (Quando indicado) discuta a aplicação do Teorema de Existência e Unicidade (TEU).
Exercício 5. Considere a equação linear
a) Classifique a equação diferencial entre: separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”.
b) Resolva a equação diferencial e determine a solução que satisfaz a condição inicial.
c) (Quando indicado) discuta a aplicação do Teorema de Existência e Unicidade (TEU).
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a equação inicial
Vou listar claramente o que é solicitado:
- (a) Classificar a equação diferencial entre: separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”.
- (b) Resolver a equação diferencial e encontrar a solução que satisfaz a condição inicial
. - (c) Discutir o Teorema de Existência e Unicidade (TEU) quando indicado.
Informações dadas:
- A equação é de primeira ordem e relaciona
com e . - Condição inicial:
.
Passo 2
Classificação da equação (parte a).
Vamos olhar a forma da equação. Ela pode ser escrita como
Isto é exatamente a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem
com
e
. Portanto a equação é linear de primeira ordem.
Observações rápidas para justificar por exclusão:
- Não é separável: para ser separável precisaríamos escrever
como produto de função só de por função só de ; aqui não se separa em . - Não é uma equação exata no sentido usual
(não cabe nessa forma trivial nem satisfaz condição de exatidão). - Logo a classificação correta é: linear de primeira ordem (pode ser resolvida por fator integrante ou pelos métodos padrão para lineares).
Passo 3
Apresentando o método do fator integrante (ideia geral) — por que funciona.
Para uma equação linear de primeira ordem
define-se o fator integrante
Multiplicando a equação por
obtemos
e o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, ou seja
Assim basta integrar ambos os lados para achar
e então dividir por
para obter
. É um método padrão e mecânico para lineares de 1ª ordem.
Passo 4
Aplicando o fator integrante ao problema (cálculo do
).
Aqui
. Então
Multiplicando a equação original por
obtemos
Pelo motivo do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada de
. Logo
Passo 5
Integrando para obter a solução geral.
Integramos ambos os lados em
:
A integração do lado esquerdo dá
. No lado direito,
onde
é constante arbitrária. Portanto
Dividindo por
para isolar
,
Esta é a solução geral da equação diferencial.
Passo 6
Aplicando a condição inicial
para determinar
.
Substituindo
em
e impondo
, obtemos
Portanto a solução particular (que satisfaz a condição inicial) é
Passo 7
(Mini-aula extra) Método alternativo: solução homogênea + particular (intuição).
Outra forma comum de resolver lineares de 1ª ordem é:
- Resolver a homogênea
, cuja solução é . - Procurar uma solução particular
de forma conveniente. Como o lado direito é , tentamos . Substituindo:
Queremos isso igual a
, logo
. Assim
.
- A solução geral é
, que coincidirá com o que obtivemos com o fator integrante. Aplicando a condição inicial obtemos o mesmo .
Passo 8
Discussão do Teorema de Existência e Unicidade (TEU) — parte (c).
Escrevendo a equação na forma padrão de valor inicial
Para o TEU, precisamos que
e
sejam contínuas em uma região contendo o ponto inicial
. Aqui:
-
é linear em e exponencial em , portanto contínua para todos . -
, que é contínua (e constante) em todo .
Como essas condições são satisfeitas globalmente, o TEU garante existência e unicidade da solução em um intervalo aberto que contém
; na verdade, como as funções são contínuas para todo
, a solução existe e é única para todo
. Outra forma de ver unicidade é que
é Lipschitz em
com constante
(porque
), então o problema de valor inicial tem solução única global.
Passo 9
Resumo e observação final — incentivo.
Conseguimos classificar, resolver por fator integrante (com um pequeno desvio mostrando método alternativo) e confirmar via TEU que a solução é única e definida para todo
. Mandou bem procurando prática — resolver lineares com fator integrante fica cada vez mais natural com exercícios.