Para cada problema de valor inicial abaixo:
a) Classifique a equação diferencial entre: separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”.
b) Resolva a equação diferencial e determine a solução que satisfaz a condição inicial.
c) (Quando indicado) discuta a aplicação do Teorema de Existência e Unicidade (TEU).
Exercício 5. Considere a equação linear
y^{\prime}+y=e^{2 x}, \quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a equação inicial
y'+y=e^{2x},\qquad y(0)=1.
Vou listar claramente o que é solicitado:
  • (a) Classificar a equação diferencial entre: separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”.
  • (b) Resolver a equação diferencial e encontrar a solução que satisfaz a condição inicial y(0)=1.
  • (c) Discutir o Teorema de Existência e Unicidade (TEU) quando indicado.
Informações dadas:
  • A equação é de primeira ordem e relaciona y' com y e x.
  • Condição inicial: y(0)=1.

Passo 2

Classificação da equação (parte a).
Vamos olhar a forma da equação. Ela pode ser escrita como
y' + 1\cdot y = e^{2x}.
Isto é exatamente a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem
y' + P(x)\,y = Q(x),
com P(x)=1 e Q(x)=e^{2x}. Portanto a equação é linear de primeira ordem.
Observações rápidas para justificar por exclusão:
  • Não é separável: para ser separável precisaríamos escrever y' como produto de função só de x por função só de y; aqui y'=-y+e^{2x} não se separa em g(x)h(y).
  • Não é uma equação exata no sentido usual M(x,y)+N(x,y)y'=0 (não cabe nessa forma trivial nem satisfaz condição de exatidão).
  • Logo a classificação correta é: linear de primeira ordem (pode ser resolvida por fator integrante ou pelos métodos padrão para lineares).

Passo 3

Apresentando o método do fator integrante (ideia geral) — por que funciona.
Para uma equação linear de primeira ordem
y' + P(x)\,y = Q(x),
define-se o fator integrante
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.
Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos
\mu y' + \mu P y = \mu Q,
e o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \mu(x)y(x), ou seja
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y(x)\big)=\mu(x)Q(x).
Assim basta integrar ambos os lados para achar \mu y e então dividir por \mu para obter y. É um método padrão e mecânico para lineares de 1ª ordem.

Passo 4

Aplicando o fator integrante ao problema (cálculo do \mu).
Aqui P(x)=1. Então
\mu(x)=e^{\int 1\,dx}=e^{x}.
Multiplicando a equação original por \mu(x)=e^{x} obtemos
e^{x}y' + e^{x}y = e^{x}e^{2x}=e^{3x}.
Pelo motivo do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada de e^{x}y. Logo
\frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big)=e^{3x}.

Passo 5

Integrando para obter a solução geral.
Integramos ambos os lados em x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big)\,dx = \int e^{3x}\,dx.
A integração do lado esquerdo dá e^{x}y. No lado direito,
\int e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x} + C,
onde C é constante arbitrária. Portanto
e^{x}y = \frac{1}{3}e^{3x} + C.
Dividindo por e^{x} para isolar y,
y(x) = \frac{1}{3}e^{2x} + C e^{-x}.
Esta é a solução geral da equação diferencial.

Passo 6

Aplicando a condição inicial y(0)=1 para determinar C.
Substituindo x=0 em
y(0)=\frac{1}{3}e^{0\cdot 2} + C e^{0\cdot(-1)} = \frac{1}{3} + C,
e impondo y(0)=1, obtemos
\frac{1}{3} + C = 1 \quad\Rightarrow\quad C = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.
Portanto a solução particular (que satisfaz a condição inicial) é
y(x) = \frac{1}{3}e^{2x} + \frac{2}{3}e^{-x}.

Passo 7

(Mini-aula extra) Método alternativo: solução homogênea + particular (intuição).
Outra forma comum de resolver lineares de 1ª ordem é:
  • Resolver a homogênea y'+y=0, cuja solução é y_h = C e^{-x}.
  • Procurar uma solução particular y_p de forma conveniente. Como o lado direito é e^{2x}, tentamos y_p = A e^{2x}. Substituindo:
y_p' + y_p = 2A e^{2x} + A e^{2x} = 3A e^{2x}.
Queremos isso igual a e^{2x}, logo 3A=1\Rightarrow A=\tfrac{1}{3}. Assim y_p=\tfrac{1}{3}e^{2x}.
  • A solução geral é y=y_h+y_p = C e^{-x} + \tfrac{1}{3}e^{2x}, que coincidirá com o que obtivemos com o fator integrante. Aplicando a condição inicial obtemos o mesmo C=\tfrac{2}{3}.

Passo 8

Discussão do Teorema de Existência e Unicidade (TEU) — parte (c).
Escrevendo a equação na forma padrão de valor inicial
y' = f(x,y),\qquad f(x,y) = -y + e^{2x}.
Para o TEU, precisamos que f(x,y) e \partial f/\partial y sejam contínuas em uma região contendo o ponto inicial (0,1). Aqui:
  • f(x,y) é linear em y e exponencial em x, portanto contínua para todos (x,y)\in\mathbb{R}^2.
  • \partial f/\partial y = -1, que é contínua (e constante) em todo \mathbb{R}^2.
Como essas condições são satisfeitas globalmente, o TEU garante existência e unicidade da solução em um intervalo aberto que contém x=0; na verdade, como as funções são contínuas para todo x, a solução existe e é única para todo x\in\mathbb{R}. Outra forma de ver unicidade é que f é Lipschitz em y com constante L=1 (porque |f(x,y_1)-f(x,y_2)|=|-(y_1-y_2)|=|y_1-y_2|), então o problema de valor inicial tem solução única global.

Passo 9

Resumo e observação final — incentivo.
Conseguimos classificar, resolver por fator integrante (com um pequeno desvio mostrando método alternativo) e confirmar via TEU que a solução é única e definida para todo x. Mandou bem procurando prática — resolver lineares com fator integrante fica cada vez mais natural com exercícios.

Resposta

y(x)=\frac{1}{3}e^{2x}+\frac{2}{3}e^{-x}

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