Para cada problema de valor inicial abaixo:
a) Classifique a equação diferencial entre: separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”.
b) Resolva a equação diferencial e determine a solução que satisfaz a condição inicial.
c) (Quando indicado) discuta a aplicação do Teorema de Existência e Unicidade (TEU).
Exercício 4. Seja o PVI
Encontre a solução e discuta o seu comportamento assintótico quando
.
a) Classifique a equação diferencial entre: separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”.
b) Resolva a equação diferencial e determine a solução que satisfaz a condição inicial.
c) (Quando indicado) discuta a aplicação do Teorema de Existência e Unicidade (TEU).
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
O que se pede:
- (a) classificar a equação (separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”);
- (b) resolver a equação diferencial e determinar a solução que satisfaz
; - (c) discutir o Teorema de Existência e Unicidade (TEU) quando indicado.
Informações relevantes dadas no enunciado: o coeficienteé sempre positivo para todo , portanto podemos dividir por ele sem problemas.
Passo 2
Classificação da equação. Vou reescrever a equação na forma diferencial comum:
Observações que levam à classificação:
- A equação é separável porque é possível escrever o lado direito como produto de uma função de
por uma função de (ou, equivalentemente, rearranjar em ). - Não é linear no sentido
porque aparece . - Se tentássemos escrever na forma
obtém-se ; como e , não são iguais, logo não é exata sem fator integrante.
Portanto a classificação mais direta e útil é: a equação é separável.
Passo 3
Método da separação de variáveis (aula rápida). A ideia: expressar todos os termos com
junto de
e todos os termos com
junto de
, e integrar. Partindo de
escreve-se
e separa-se:
Nota técnica: aqui dividi por
e por
. Isso é permitido porque
para todo
, e
para todo
. Então a separação é válida globalmente.
Passo 4
Integração das duas parcelas. Sabendo que a primitiva de
em relação a
é
, integramos ambos os lados:
onde
é constante de integração. Aqui usei a propriedade
.
Passo 5
Aplicar a condição inicial para determinar
. Substituindo
e
em
obtemos
Logo a relação entre
e
para a solução procurada é
Passo 6
Resolver explicitamente a condição
. A função
é estritamente crescente e injetora, logo se
então necessariamente
. Assim a solução explícita que satisfaz a condição inicial é
Passo 7
Verificação rápida: substituir
na equação original.
e
portanto a igualdade da equação diferencial é satisfeita. E
também é satisfeita.
Passo 8
Comportamento assintótico quando
. Como a solução é exatamente
, temos:
Em termos de arctangente,
quando
.
Passo 9
Discussão do Teorema de Existência e Unicidade (TEU). Considere a forma padrão
com
Observações para aplicar o TEU (Picard–Lindelöf):
-
é contínua em todo (não há singularidade porque sempre). - A derivada parcial em relação a
é , que também é contínua em todo .
Pelo TEU, para qualquer ponto inicialexiste uma solução única localmente. Como e são contínuas em toda a reta, para qualquer intervalo finito existe um retângulo compacto onde vale a condição de Lipschitz em , garantindo unicidade nessa faixa; além disso, a solução explícita encontrada é definida para todo , portanto a solução do PVI existe e é única globalmente (no intervalo ). Em resumo: as hipóteses do TEU são satisfeitas e o PVI tem solução única definida para todo .
Resposta
(a) A equação é separável.
(b) A solução do PVI é para todo
.
(c) Pelo TEU (pois e
são contínuas em
) existe e é única uma solução local; aqui a solução explícita
é global, portanto existência e unicidade valem para todo
.
(b) A solução do PVI é
(c) Pelo TEU (pois