Para cada problema de valor inicial abaixo:
a) Classifique a equação diferencial entre: separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”.
b) Resolva a equação diferencial e determine a solução que satisfaz a condição inicial.
c) (Quando indicado) discuta a aplicação do Teorema de Existência e Unicidade (TEU).
Exercício 4. Seja o PVI
\left(1+x^{2}\right) y^{\prime}=\left(1+y^{2}\right), \quad y(0)=0
Encontre a solução e discuta o seu comportamento assintótico quando x \rightarrow \infty.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
\left(1+x^{2}\right) y^{\prime}=\left(1+y^{2}\right),\qquad y(0)=0.
O que se pede:
  • (a) classificar a equação (separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”);
  • (b) resolver a equação diferencial e determinar a solução que satisfaz y(0)=0;
  • (c) discutir o Teorema de Existência e Unicidade (TEU) quando indicado.
    Informações relevantes dadas no enunciado: o coeficiente 1+x^{2} é sempre positivo para todo x\in\mathbb{R}, portanto podemos dividir por ele sem problemas.

Passo 2

Classificação da equação. Vou reescrever a equação na forma diferencial comum:
y'=\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}}.
Observações que levam à classificação:
  • A equação é separável porque é possível escrever o lado direito como produto de uma função de y por uma função de x (ou, equivalentemente, rearranjar em g(y)\,dy=h(x)\,dx).
  • Não é linear no sentido y'+P(x)y=Q(x) porque aparece y^{2}.
  • Se tentássemos escrever na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 obtém-se -(1+y^{2})\,dx+(1+x^{2})\,dy=0; como \partial M/\partial y=-2y e \partial N/\partial x=2x, não são iguais, logo não é exata sem fator integrante.
    Portanto a classificação mais direta e útil é: a equação é separável.

Passo 3

Método da separação de variáveis (aula rápida). A ideia: expressar todos os termos com y junto de dy e todos os termos com x junto de dx, e integrar. Partindo de
y'=\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}},
escreve-se y'=\dfrac{dy}{dx} e separa-se:
\frac{dy}{1+y^{2}}=\frac{dx}{1+x^{2}}.
Nota técnica: aqui dividi por 1+y^{2} e por 1+x^{2}. Isso é permitido porque 1+x^{2}>0 para todo x, e 1+y^{2}>0 para todo y. Então a separação é válida globalmente.

Passo 4

Integração das duas parcelas. Sabendo que a primitiva de 1/(1+t^{2}) em relação a t é \arctan t, integramos ambos os lados:
\int\frac{dy}{1+y^{2}}=\int\frac{dx}{1+x^{2}}
\Rightarrow \arctan y = \arctan x + C,
onde C é constante de integração. Aqui usei a propriedade \dfrac{d}{dt}\bigl(\arctan t\bigr)=\dfrac{1}{1+t^{2}}.

Passo 5

Aplicar a condição inicial para determinar C. Substituindo x=0 e y(0)=0 em \arctan y=\arctan x + C obtemos
\arctan(0)=\arctan(0)+C \quad\Rightarrow\quad 0=0+C \quad\Rightarrow\quad C=0.
Logo a relação entre y e x para a solução procurada é
\arctan y=\arctan x.

Passo 6

Resolver explicitamente a condição \arctan y=\arctan x. A função \arctan:\mathbb{R}\to\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr) é estritamente crescente e injetora, logo se \arctan y=\arctan x então necessariamente y=x. Assim a solução explícita que satisfaz a condição inicial é
y(x)=x,\qquad x\in\mathbb{R}.

Passo 7

Verificação rápida: substituir y(x)=x na equação original.
y'=1,\qquad (1+x^{2})y'=(1+x^{2})\cdot 1=1+x^{2},
e
1+y^{2}=1+x^{2},
portanto a igualdade da equação diferencial é satisfeita. E y(0)=0 também é satisfeita.

Passo 8

Comportamento assintótico quando x\to\infty. Como a solução é exatamente y(x)=x, temos:
\lim_{x\to\infty} y(x)=\lim_{x\to\infty} x=+\infty, \qquad \lim_{x\to\infty}\frac{y(x)}{x}=1.
Em termos de arctangente, \arctan y=\arctan x\to \tfrac{\pi}{2} quando x\to\infty.

Passo 9

Discussão do Teorema de Existência e Unicidade (TEU). Considere a forma padrão y'=f(x,y) com
f(x,y)=\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}}.
Observações para aplicar o TEU (Picard–Lindelöf):
  • f(x,y) é contínua em todo \mathbb{R}^{2} (não há singularidade porque 1+x^{2}>0 sempre).
  • A derivada parcial em relação a y é \partial f/\partial y= \dfrac{2y}{1+x^{2}}, que também é contínua em todo \mathbb{R}^{2}.
    Pelo TEU, para qualquer ponto inicial (x_{0},y_{0}) existe uma solução única localmente. Como f e \partial f/\partial y são contínuas em toda a reta, para qualquer intervalo finito existe um retângulo compacto onde vale a condição de Lipschitz em y, garantindo unicidade nessa faixa; além disso, a solução explícita encontrada y(x)=x é definida para todo x\in\mathbb{R}, portanto a solução do PVI existe e é única globalmente (no intervalo (-\infty,\infty)). Em resumo: as hipóteses do TEU são satisfeitas e o PVI tem solução única definida para todo x.

Resposta

(a) A equação é separável.
(b) A solução do PVI é y(x)=x para todo x\in\mathbb{R}.
(c) Pelo TEU (pois f(x,y)=(1+y^{2})/(1+x^{2}) e \partial f/\partial y=2y/(1+x^{2}) são contínuas em \mathbb{R}^{2}) existe e é única uma solução local; aqui a solução explícita y(x)=x é global, portanto existência e unicidade valem para todo x\in\mathbb{R}.

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