Em cada um dos Problemas de 1 a 12, encontre a soluçâo geral da equação diferencial dada.
1 y^prime prime-2 y^prime-3 y=3 e^2 t

Passo 1

A gente tem aqui uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo:
y'' - 2y' - 3y = 3e^2t.
Precisamos achar a solução geral, que é soma da solução homogênea com uma particular.

Passo 2

Para a parte homogênea, montamos a equação característica:
r^2 - 2r - 3 = 0
Resolvendo, fatora-se em (r - 3)(r + 1) = 0, daí os raízes são r = 3 e r = -1. Logo a solução homogênea é
yh(t) = C1 e^3t + C2 e^-t

Passo 3

Para a parte particular, como o lado direito é 3e^2t e r = 2 não é raiz da característica, tentamos
$$y_p(t) = A e^{2t}.
yp(t) = A e^2t çã(4A) e^{2t} - 2(2A)e^{2t} - 3(A)e^{2t} = 3e^{2t},$$
o que dá
yp' = 2A e^2t,
Então
yp'' = 4A e^2t

Passo 4

A solução geral é a soma das duas partes:
$$y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-t} - e^{2t}.
$$

Resposta

y(t) = C1 e^3t + C2 e^-t - e^2t

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