O polinômio
divide o polinômio:
Quais são as raízes da equação
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as raízes da equação $ p(x) = 0 $, onde o polinômio $ p(x) = x^{5} - 2x^{4} - 8x^{3} - x^{2} + 2x + 8 $. A gente sabe também que $ x^{3} - 1 $ divide esse polinômio. Vamos usar conhecimentos de divisibilidade de polinômios e resolução de equações polinomiais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, já que $ x^{3} - 1 $ divide $ p(x) $, isso significa que $ p(x) $ pode ser escrito como $ p(x) = (x^{3} - 1) \cdot q(x) $, onde $ q(x) $ é outro polinômio. Como $ p(x) $ é de quinto grau e $ x^{3} - 1 $ é de terceiro grau, $ q(x) $ deve ser de grau dois, ou seja, uma equação quadrática da forma $ q(x) = ax^{2} + bx + c $.
Passo 3
Vamos multiplicar $ (x^{3} - 1) $ por $ (ax^{2} + bx + c) $ e igualar com $ p(x) $ para encontrar os valores de $ a $, $ b $ e $ c $:
Igualando aos termos de $ p(x) $:
Comparando os coeficientes:
Então, $ q(x) = x^{2} - 2x - 8 $.
Passo 4
Agora que temos $ p(x) = (x^{3} - 1)(x^{2} - 2x - 8) $, vamos encontrar as raízes de cada fator:
-
Raízes de $ x^{3} - 1 = 0 $:Essas são as raízes cúbicas da unidade.
-
Raízes de $ x^{2} - 2x - 8 = 0 $:
Usando a fórmula de Bhaskara:Então:
Resposta
As raízes da equação $ p(x) = 0 $ são: