O polinômio x^3-1 divide o polinômio:
p(x)=x^5-2 x^4-8 x^3-x^2+2 x+8
Quais são as raízes da equação p(x)=0 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as raízes da equação $ p(x) = 0 $, onde o polinômio $ p(x) = x^{5} - 2x^{4} - 8x^{3} - x^{2} + 2x + 8 $. A gente sabe também que $ x^{3} - 1 $ divide esse polinômio. Vamos usar conhecimentos de divisibilidade de polinômios e resolução de equações polinomiais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, já que $ x^{3} - 1 $ divide $ p(x) $, isso significa que $ p(x) $ pode ser escrito como $ p(x) = (x^{3} - 1) \cdot q(x) $, onde $ q(x) $ é outro polinômio. Como $ p(x) $ é de quinto grau e $ x^{3} - 1 $ é de terceiro grau, $ q(x) $ deve ser de grau dois, ou seja, uma equação quadrática da forma $ q(x) = ax^{2} + bx + c $.

Passo 3

Vamos multiplicar $ (x^{3} - 1) $ por $ (ax^{2} + bx + c) $ e igualar com $ p(x) $ para encontrar os valores de $ a $, $ b $ e $ c $:
(x^3 - 1)
Igualando aos termos de $ p(x) $:
(ax^2 + bx + c)
Comparando os coeficientes:
p(x)
Então, $ q(x) = x^{2} - 2x - 8 $.

Passo 4

Agora que temos $ p(x) = (x^{3} - 1)(x^{2} - 2x - 8) $, vamos encontrar as raízes de cada fator:
  1. Raízes de $ x^{3} - 1 = 0 $:
    p(x) = (x^3 - 1)(x^2 - 2x - 8)
    Essas são as raízes cúbicas da unidade.
  2. Raízes de $ x^{2} - 2x - 8 = 0 $:
    Usando a fórmula de Bhaskara:
    x^3 - 1 = 0
    Então:
    x^3 = 1 x = 1, x = -1 + iraiz32, x = -1 - iraiz32

Resposta

As raízes da equação $ p(x) = 0 $ são:
p(x) = 0

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