(Unicamp-SP) Para resolver equaçőes do tipo x^4+a x^3+b x^2+a x+1=0, podemos proceder do seguinte modo: como x=0 não é uma raiz, dividese a equação por x^2 e, após fazer a mudança de variáveis u=x+1x, resolve-se a equação obtida (na variável u ). Ache as quatro raízes da equação x^4-3 x^3+4 x^2-3 x+1=0.

Passo 1

Estamos resolvendo a equação quartica simétrica x^4-3x^3+4x^2-3x+1=0. O conteúdo é o estudo de equações polinomiais com coeficientes palindrômicos (simétricos), para o qual vamos dividir tudo por x^2 (já que x=0 não é raiz) e usar a mudança de variável u=x+1x.

Passo 2

Dividindo a equação por x^2, obtemos
x^2-3x+4-31x+1x^2=0

Passo 3

Reescrevendo x^2+1x^2 em função de u=x+1x, usamos
x^2+1x^2=(x+tfrac1x)^2-2=u^2-2

Passo 4

Substituindo na equação dividida, fica
u^2-2;-3u+4=0 u^2-3u+2=0

Passo 5

Essa quadrática em u fatora como
(u-1)(u-2)=0

Passo 6

Logo, u=1 ou u=2. Agora resolvemos cada caso:

Passo 7

Para u=1, temos
x+1x=1implies x^2-x+1=0
O discriminante é De, então
x=1pm iraiz32

Passo 8

Para u=2, temos
x+1x=2implies x^2-2x+1=0
que dá raiz dupla
x=1

Resposta

As quatro raízes são x=1 (multiplicidade 2), x=1+iraiz32 e x=1-iraiz32.

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