Em cada um dos Problemas de 1 a 12 . encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^prime+y=3 sen 2 t+t cos 2 t

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial de primeira ordem não homogênea
O conteúdo é equações diferenciais lineares de 1ª ordem e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Reconhecemos a forma padrão
p(t)=1
com g(t)=3sin(2t)+tcos(2t) e .

Passo 3

Calculamos o fator integrante
.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por e^t e observamos que o lado esquerdo vira uma derivada:
ddtl(e^t yr) = e^tl(3sin(2t) + tcos(2t)r)

Passo 5

Integramos ambos os lados:
e^t y = integral e^tl(3sin(2t) + tcos(2t)r),dt + C

Passo 6

Separamos em duas integrais: I1 = 3integral e^tsin(2t),dt e $I_2 = \int t e^t\cos(2t),dt. $
Usamos as fórmulas
I2 = integral t e^tcos(2t),dt
integral e^tsin(2t),dt = e^tl(sin(2t)-2cos(2t)r)5,

Passo 7

Calculamos
I1 = 3e^tl(sin(2t)-2cos(2t)r)5,
I2 = t e^tl(cos(2t)+2sin(2t)r)5 - e^tl(4sin(2t)-3cos(2t)r)25

Passo 8

Somamos I1+I2 e obtemos
integral e^tl(3sin(2t)+tcos(2t)r),dt = e^tl[(10t+11)sin(2t)+(5t-27)cos(2t)r]25 + C

Passo 9

Agora dividimos ambos os lados por e^t e obtemos a solução geral

Passo 10

extra: solução geral obtida no próximo campo

Resposta

y(t) = (10t+11)sin(2t) + (5t-27)cos(2t)25 + Ce^-t

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