Em cada um dos Problemas de 13 a 20, verifique que as funções dadas y1 e y2 satisfazem a equação homogênea associada; depois encontre uma solução particular da equação não homogênea dada. Nos Problemas 19 e 20, g é uma função contínua arbitrária.
x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-0,25) y=g(x), x>0 ; y1(x)=x^-1 / 2 sen x, y2(x)=x^-1 / 2 cos x

Passo 1

Temos a EDO linear de 2ª ordem não-homogênea
x^2y''+xy'+(x^2-tfrac14)y=g(x), x>0,
cuja parte homogênea
x^2y''+xy'+(x^2-tfrac14)y=0
já admite duas soluções fundamentais dadas por
y1(x)=x^-1/2sin x,
y2(x)=x^-1/2cos x
O plano é verificar que elas satisfazem a homogênea e depois usar o método dos parâmetros variantes para obter uma solução particular.

Passo 2

Para verificar que y1 satisfaz a homogênea, calculamos
y1(x)=x^-1/2sin x,
y1'(x)=-tfrac12x^-3/2sin x+x^-1/2cos x,
y1''(x)=tfrac34x^-5/2sin x -x^-3/2cos x -x^-1/2sin x
Substituindo em
x^2y1''+xy1'+(x^2-tfrac14)y1
e agrupando termos, cada parcela se cancela e resulta em zero. O mesmo cálculo (com derivadas análogas) mostra que y2 também satisfaz a homogênea.

Passo 3

O Wronskiano de y1,y2 é
W(x)=y1y2'-y1'y2=-x^-2
Isso confirma que y1,y2 são linearmente independentes.

Passo 4

Pelo método dos parâmetros variantes, buscamos
yp=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x)
com
u1'=-y2(x)g(x)W(x),
u2'=y1(x)g(x)W(x)
Como W=-x^-2, temos
u1'=x^2y2(x)g(x),
u2'=-x^2y1(x)g(x)

Passo 5

Integramos para obter u1,u2:
u1(x)=integral x^2l(x^-1/2cos xr)g(x),dx=integral x^3/2cos x;g(x),dx,
u2(x)=-integral x^2l(x^-1/2sin xr)g(x),dx=-integral x^3/2sin x;g(x),dx
Portanto, uma solução particular é dada por

Passo 6

Construindo yp=u1y1+u2y2, obtemos
yp(x)=x^-1/2sin xintegral x^3/2cos x;g(x),dx - x^-1/2cos xintegral x^3/2sin x;g(x),dx

Resposta

Uma solução particular é
$$
y_p(x)=x^{-1/2}\sin x\int^x s^{3/2}\cos s,g(s),ds
  • x^{-1/2}\cos x\int^x s^{3/2}\sin s,g(s),ds.
$$

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