Em cada um dos Problemas de 13 a 20, verifique que as funções dadas
e
satisfazem a equação homogênea associada; depois encontre uma solução particular da equação não homogênea dada. Nos Problemas 19 e
é uma função contínua arbitrária.
Passo 1
Temos a EDO linear de 2ª ordem não-homogênea
cuja parte homogênea
já admite duas soluções fundamentais dadas por
O plano é verificar que elas satisfazem a homogênea e depois usar o método dos parâmetros variantes para obter uma solução particular.
Passo 2
Para verificar que
satisfaz a homogênea, calculamos
Substituindo em
e agrupando termos, cada parcela se cancela e resulta em zero. O mesmo cálculo (com derivadas análogas) mostra que
também satisfaz a homogênea.
Passo 3
O Wronskiano de
é
Isso confirma que
são linearmente independentes.
Passo 4
Pelo método dos parâmetros variantes, buscamos
com
Como
, temos
Passo 5
Integramos para obter
:
Portanto, uma solução particular é dada por
Passo 6
Construindo
, obtemos
Resposta
Uma solução particular é
$$
y_p(x)=x^{-1/2}\sin x\int^x s^{3/2}\cos s,g(s),ds
y_p(x)=x^{-1/2}\sin x\int^x s^{3/2}\cos s,g(s),ds
- x^{-1/2}\cos x\int^x s^{3/2}\sin s,g(s),ds.
$$