Determine a derivada direcional da função no ponto P dado na direção do vetor v. g(x, y, z)=x+2 y+3 z^3 / 2, P(1,2,1), v=2 j-k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional que envolve o gradiente da função e a direção do vetor dado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função nabla g = ( partial gpartial x, partial gpartial y, partial gpartial z ) . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável:
partial gpartial x = 1, partial gpartial y = 2, partial gpartial z = 92 z^1/2
Calculando cada derivada:
nabla g(P) = (1, 2, 92 times 1^1/2) = (1, 2, 92)
No ponto , substituímos :

Passo 3

Agora, precisamos normalizar o vetor direção |v| = raiz0^2 + 2^2 + (-1)^2 = raiz0 + 4 + 1 = raiz5 . Normalizar significa transformar o vetor em um vetor unitário (com comprimento 1).
Primeiro, calculamos o módulo de u = (0, 2raiz5, -1raiz5) :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 4

A derivada direcional Du g = nabla g(P) cdot u é dada pelo produto escalar entre o gradiente de Du g = (1, 2, 92) cdot (0, 2raiz5, -1raiz5) = 1 times 0 + 2 times 2raiz5 + 92 times -1raiz5 e o vetor unitário Du g = 0 + 4raiz5 - 92raiz5 = 82raiz5 - 92raiz5 = -12raiz5 :
Calculando o produto escalar:
Simplificando:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é .

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