Determine a derivada direcional da função no ponto
dado na direção do vetor v.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional que envolve o gradiente da função e a direção do vetor dado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável:
Calculando cada derivada:
No ponto
, substituímos
:
Passo 3
Agora, precisamos normalizar o vetor direção
. Normalizar significa transformar o vetor em um vetor unitário (com comprimento 1).
Primeiro, calculamos o módulo de
:
Então, o vetor unitário
na direção de
é:
Passo 4
A derivada direcional
é dada pelo produto escalar entre o gradiente de
e o vetor unitário
:
Calculando o produto escalar:
Simplificando:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
é
.