Em cada um dos problemas de 13 a 18, encontre a transformada de Laplace da função dada.
f(t)= \begin{cases}0, & t<1 \\\ t^{2}-2 t+2, & t \geq 1\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre a transformada de Laplace da função f(t)\) definida por \[f(t)= \begin{cases}0, & t<1 \\\ t^{2}-2 t+2, & t \geq 1\end{cases}
Informações relevantes dadas:
  • A função vale 0\] para \(t<1.
  • A função vale t^{2}-2t+2 para t\ge 1.
  • A transformação pedida é a transformada de Laplace (ou seja, calcular F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}).

Passo 2

Primeira ideia prática para simplificar a transformada: expressar f(t) usando a função degrau deslocada (Heaviside) u(t-a). Vou reescrever f(t) como um produto do degrau em t=1 por uma função deslocada. Defino uma nova função h(\tau) tal que, ao substituir \tau=t-1, eu recupere o polinômio quando t\ge1. Faço a substituição \tau=t-1 e calculo:
t = \tau+1 \quad\Rightarrow\quad t^{2}-2t+2 = (\tau+1)^{2}-2(\tau+1)+2.

Passo 3

Calculo explicitamente o polinômio em termos de \tau:
(\tau+1)^{2}-2(\tau+1)+2 = \tau^{2}+2\tau+1 -2\tau -2 +2 = \tau^{2}+1.
Portanto, usando \tau=t-1,
t^{2}-2t+2 = (t-1)^{2}+1.
Logo posso escrever
f(t)=u(t-1)\bigl((t-1)^{2}+1\bigr).

Passo 4

Agora uso a propriedade de deslocamento no tempo para transformadas de Laplace (a chamada propriedade do degrau). A propriedade diz o seguinte: se uma função é escrita como u(t-a)g(t-a) com a>0, então
\mathcal{L}\{u(t-a)g(t-a)\}(s)=e^{-a s}\,\mathcal{L}\{g(t)\}(s).
Aqui a é o deslocamento no tempo (um número positivo), u é o degrau unitário, g(t) é a função “não deslocada” e \mathcal{L} indica a transformada de Laplace. No nosso caso, a=1 e g(t)=t^{2}+1. Portanto, se eu chamar H(s)=\mathcal{L}\{t^{2}+1\}(s), então a transformada que quero é
F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=e^{-s}\,H(s).

Passo 5

Agora preciso calcular H(s)=\mathcal{L}\{t^{2}+1\}(s). Como a transformada é linear:
H(s)=\mathcal{L}\{t^{2}\}(s)+\mathcal{L}\{1\}(s).
Lembrando as fórmulas usuais:
\mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s}
e, de forma geral,
\mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\frac{n!}{s^{n+1}} \quad\text{para inteiro } n\ge0.
Aplicando para n=2:
\mathcal{L}\{t^{2}\}(s)=\frac{2!}{s^{3}}=\frac{2}{s^{3}}.

Passo 6

Somando as duas transformadas obtidas:
H(s)=\frac{2}{s^{3}}+\frac{1}{s}.
Posso também colocar em denominador comum s^{3} se quiser simplificar:
H(s)=\frac{2 + s^{2}}{s^{3}}.

Passo 7

Voltando à propriedade de deslocamento do Passo 4, obtenho a transformada final:
F(s)=e^{-s}\,H(s)=e^{-s}\left(\frac{2}{s^{3}}+\frac{1}{s}\right).
Ou, na forma simplificada:
F(s)=e^{-s}\,\frac{s^{2}+2}{s^{3}}.

Resposta

F(s)=e^{-s}\left(\dfrac{2}{s^{3}}+\dfrac{1}{s}\right)=e^{-s}\dfrac{s^{2}+2}{s^{3}}

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