Em cada um dos problemas de 13 a 18, encontre a transformada de Laplace da função dada.
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre a transformada de Laplace da função
Informações relevantes dadas:
- A função vale .
- A função vale
para . - A transformação pedida é a transformada de Laplace (ou seja, calcular
).
Passo 2
Primeira ideia prática para simplificar a transformada: expressar
usando a função degrau deslocada (Heaviside)
. Vou reescrever
como um produto do degrau em
por uma função deslocada. Defino uma nova função
tal que, ao substituir
, eu recupere o polinômio quando
. Faço a substituição
e calculo:
Passo 3
Calculo explicitamente o polinômio em termos de
:
Portanto, usando
,
Logo posso escrever
Passo 4
Agora uso a propriedade de deslocamento no tempo para transformadas de Laplace (a chamada propriedade do degrau). A propriedade diz o seguinte: se uma função é escrita como
com
, então
Aqui
é o deslocamento no tempo (um número positivo),
é o degrau unitário,
é a função “não deslocada” e
indica a transformada de Laplace. No nosso caso,
e
. Portanto, se eu chamar
, então a transformada que quero é
Passo 5
Agora preciso calcular
. Como a transformada é linear:
Lembrando as fórmulas usuais:
e, de forma geral,
Aplicando para
:
Passo 6
Somando as duas transformadas obtidas:
Posso também colocar em denominador comum
se quiser simplificar:
Passo 7
Voltando à propriedade de deslocamento do Passo 4, obtenho a transformada final:
Ou, na forma simplificada: