Em cada um dos Problemas 14a 20, encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada.
\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & -2 \\\\ 3 & 2 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todos os autovalores e autovetores da matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 2 & 1 & -2 \\[4pt] 3 & 2 & 1\end{pmatrix}.
Informações dadas que vamos usar:
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 2 & 1 & -2 \\[4pt] 3 & 2 & 1\end{pmatrix}.
O que se pede: todos os valores \lambda tais que exista v\neq 0 com Av=\lambda v (autovalores) e, para cada \lambda, todos os vetores v que satisfazem Av=\lambda v (autovetores).]

Passo 2

Vamos achar o polinômio característico \det(A-\lambda I). Primeiro escrevo A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}1-\lambda & 0 & 0 \\[4pt] 2 & 1-\lambda & -2 \\[4pt] 3 & 2 & 1-\lambda\end{pmatrix}.
Para calcular o determinante é conveniente expandir pela primeira linha, que tem zeros nas colunas 2 e 3. Assim
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)\det\begin{pmatrix}1-\lambda & -2 \\[4pt] 2 & 1-\lambda\end{pmatrix}.
Agora calculo o determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}1-\lambda & -2 \\[4pt] 2 & 1-\lambda\end{pmatrix}=(1-\lambda)(1-\lambda)-(-2)\cdot 2=(1-\lambda)^2+4.
Portanto o polinômio característico é
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)\bigl((1-\lambda)^2+4\bigr).]

Passo 3

A partir da fatoração anterior já leio as raízes (autovalores). As soluções de \det(A-\lambda I)=0 são as \lambda que anulam cada fator:
  • Do fator 1-\lambda vem \lambda=1.
  • Do fator (1-\lambda)^2+4=0 vem (1-\lambda)^2=-4, ou seja 1-\lambda=\pm 2i. Portanto
\lambda=1+2i\qquad\text{e}\qquad \lambda=1-2i.
Resumo: há um autovalor real \lambda=1 e um par conjugado complexo \lambda=1\pm 2i.
Explicação curta sobre multiplicidade:
  • \lambda=1 tem multiplicidade algébrica 1 (pois o fator 1-\lambda aparece apenas uma vez).
  • Os outros dois autovalores são complexos e distintos entre si.

Passo 4

Agora encontro os autovetores para \lambda=1. Devemos resolver (A-I)v=0. Escrevo A-I:
A-I=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\[4pt] 2 & 0 & -2 \\[4pt] 3 & 2 & 0\end{pmatrix}.
Seja v=(x,y,z)^T. O sistema (A-I)v=0 equivale a:
  1. da primeira linha: 0\cdot x+0\cdot y+0\cdot z=0 (sempre satisfeita),
  2. da segunda linha: 2x+0\cdot y-2z=0, isto é 2x-2z=0,
  3. da terceira linha: 3x+2y+0\cdot z=0, isto é 3x+2y=0.
Resolvo passo a passo:
  • Da equação 2x-2z=0 vem x=z.
  • Da equação 3x+2y=0 vem 2y=-3x e portanto y=-\dfrac{3}{2}x.
Tomamos x como parâmetro livre, escrevo x=t. Então y=-\dfrac{3}{2}t e z=t. Assim os autovetores associados a \lambda=1 são todos múltiplos de
\begin{pmatrix}1\\[4pt] -\dfrac{3}{2}\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Para evitar fração, multiplico por 2 e escolho o vetor conveniente
\begin{pmatrix}2\\[4pt] -3\\[4pt] 2\end{pmatrix}.
Portanto o espaço próprio (autovetores) para \lambda=1 é \operatorname{span}\{(2,-3,2)^T\}.
Comentário didático: geometricamente isso significa que a multiplicidade geométrica de \lambda=1 é 1 (uma única direção de autovetores).]

Passo 5

Agora encontro autovetores para \lambda=1+2i. Escrevo A-(1+2i)I:
A-(1+2i)I=\begin{pmatrix}-2i & 0 & 0 \\[4pt] 2 & -2i & -2 \\[4pt] 3 & 2 & -2i\end{pmatrix}.
Seja v=(x,y,z)^T (agora componentes podem ser complexas). O sistema (A-(1+2i)I)v=0 dá as equações:
  1. -2i\,x=0,
  2. 2x-2i\,y-2z=0,
  3. 3x+2y-2i\,z=0.
Da primeira equação -2i\,x=0 obtemos x=0 (porque i\neq 0). Substituo x=0 nas outras duas:
  • Segunda: -2i\,y-2z=0. Dividindo por -2 resulta i\,y+z=0, ou seja z=-i\,y.
  • Terceira: 2y-2i\,z=0. Dividindo por 2 resulta y-i\,z=0. Se eu substituir z=-i\,y nesta terceira equação, obtenho y-i(-i\,y)=y-i\cdot(-i)\,y=y-(-i^2)\,y=y-(-(-1))\,y=y-y=0, ou seja as duas equações são consistentes (esperado).
Tomando y como parâmetro livre y=s, obtemos z=-i s e x=0. Assim um autovetor conveniente para \lambda=1+2i é
\begin{pmatrix}0\\[4pt] 1\\[4pt] -i\end{pmatrix}.]

Passo 6

Para \lambda=1-2i (o conjugado) podemos repetir o cálculo ou notar que, já que A tem entradas reais, o autovetor para \lambda=1-2i será o conjugado do autovetor associado a \lambda=1+2i. Portanto um autovetor correspondente a \lambda=1-2i é
\begin{pmatrix}0\\[4pt] 1\\[4pt] i\end{pmatrix}.
Verificação curta (como cheque mental): para cada par (\lambda,v) construído vale Av=\lambda v por construção porque resolvemos (A-\lambda I)v=0.]

Resposta

\lambda=1: autovetores =\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}2\\[4pt]-3\\[4pt]2\end{pmatrix}\right\}
\lambda=1+2i: autovetores =\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]-i\end{pmatrix}\right\}
\lambda=1-2i: autovetores =\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]i\end{pmatrix}\right\}]

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