Em cada um dos Problemas 14a 20, encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada. \left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & -2 \\\\ 3 & 2 & 1\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todos os autovalores e autovetores da matriz
O que se pede: todos os valores \lambda tais que exista v\neq 0 com Av=\lambda v (autovalores) e, para cada \lambda, todos os vetores v que satisfazem Av=\lambda v (autovetores).]
Passo 2
Vamos achar o polinômio característico \det(A-\lambda I). Primeiro escrevo A-\lambda I:
Seja v=(x,y,z)^T (agora componentes podem ser complexas). O sistema (A-(1+2i)I)v=0 dá as equações:
-2i\,x=0,
2x-2i\,y-2z=0,
3x+2y-2i\,z=0.
Da primeira equação -2i\,x=0 obtemos x=0 (porque i\neq 0). Substituo x=0 nas outras duas:
Segunda: -2i\,y-2z=0. Dividindo por -2 resulta i\,y+z=0, ou seja z=-i\,y.
Terceira: 2y-2i\,z=0. Dividindo por 2 resulta y-i\,z=0. Se eu substituir z=-i\,y nesta terceira equação, obtenho y-i(-i\,y)=y-i\cdot(-i)\,y=y-(-i^2)\,y=y-(-(-1))\,y=y-y=0, ou seja as duas equações são consistentes (esperado).
Tomando y como parâmetro livre y=s, obtemos z=-i s e x=0. Assim um autovetor conveniente para \lambda=1+2i é
Para \lambda=1-2i (o conjugado) podemos repetir o cálculo ou notar que, já que A tem entradas reais, o autovetor para \lambda=1-2i será o conjugado do autovetor associado a \lambda=1+2i. Portanto um autovetor correspondente a \lambda=1-2i é
\begin{pmatrix}0\\[4pt] 1\\[4pt] i\end{pmatrix}.
Verificação curta (como cheque mental): para cada par (\lambda,v) construído vale Av=\lambda v por construção porque resolvemos (A-\lambda I)v=0.]