Em cada um dos Problemas 14a 20, encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada. \left(\begin{array}{rr}5 & -1 \\\\ 3 & 1\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todos os autovalores e autovetores da matriz
Ou seja, precisamos achar todos os números \lambda e vetores não nulos v tais que
A v = \lambda v.
As perguntas são: (1) quais são os autovalores \lambda? e (2) para cada autovalor, quais são os autovetores (descritos como todos os múltiplos de um vetor não nulo)?]
Passo 2
O que significa resolver A v = \lambda v? Vamos transformar essa condição em algo que dá uma equação para \lambda. Escrevendo
A v = \lambda v \quad\Longleftrightarrow\quad (A-\lambda I)v = 0,
onde I é a matriz identidade 2\times2. Para que exista um vetor não nulo v que satisfaça (A-\lambda I)v=0, a matriz A-\lambda I deve ser singular, isto é, deve ter determinante zero. Portanto os autovalores \lambda são as raízes da equação
\det(A-\lambda I)=0.
Passo 3
Vamos formar A-\lambda I e calcular o determinante. Primeiro
Escrevendo o sistema linear (A-4I)\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0 obtemos as equações
\begin{cases} 1\cdot x - 1\cdot y = 0,\\[4pt] 3\cdot x - 3\cdot y = 0. \end{cases}
A segunda é múltiplo da primeira, então a condição é simplesmente x-y=0\], isto é \(x=y. Portanto todos os autovetores correspondentes a \lambda_1=4 são os vetores da forma
Resumo rápido (dica para prova): quando os autovalores são distintos (aqui 4 e 2), os autovetores correspondentes são linearmente independentes — isso significa que a matriz tem dois autovetores independentes e, se for pedir, é diagonalizável sobre \mathbb{R}. Na prática para achar autovetores, basta resolver (A-\lambda I)v=0 e pegar um parâmetro livre para descrever todos os múltiplos.