Em cada um dos Problemas 14a 20, encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada.
\left(\begin{array}{rr}5 & -1 \\\\ 3 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todos os autovalores e autovetores da matriz
A=\left(\begin{array}{rr}5 & -1 \\[4pt] 3 & 1\end{array}\right).
Ou seja, precisamos achar todos os números \lambda e vetores não nulos v tais que
A v = \lambda v.
As perguntas são: (1) quais são os autovalores \lambda? e (2) para cada autovalor, quais são os autovetores (descritos como todos os múltiplos de um vetor não nulo)?]

Passo 2

O que significa resolver A v = \lambda v? Vamos transformar essa condição em algo que dá uma equação para \lambda. Escrevendo
A v = \lambda v \quad\Longleftrightarrow\quad (A-\lambda I)v = 0,
onde I é a matriz identidade 2\times2. Para que exista um vetor não nulo v que satisfaça (A-\lambda I)v=0, a matriz A-\lambda I deve ser singular, isto é, deve ter determinante zero. Portanto os autovalores \lambda são as raízes da equação
\det(A-\lambda I)=0.

Passo 3

Vamos formar A-\lambda I e calcular o determinante. Primeiro
A-\lambda I=\left(\begin{array}{rr}5-\lambda & -1 \\[4pt] 3 & 1-\lambda\end{array}\right).
O determinante é
\det(A-\lambda I)=(5-\lambda)(1-\lambda)-(-1)\cdot 3.
Agora desenvolvemos essa expressão passo a passo:
(5-\lambda)(1-\lambda)=5-6\lambda+\lambda^2,
e somando (+3) obtemos
\det(A-\lambda I)=\lambda^2-6\lambda+8.
Assim os autovalores satisfazem
\lambda^2-6\lambda+8=0.]

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática \lambda^2-6\lambda+8=0. Podemos fatorar:
\lambda^2-6\lambda+8=(\lambda-4)(\lambda-2).
Logo as raízes são
\lambda_1=4\quad\text{e}\quad\lambda_2=2.

Passo 5

Agora vamos achar os autovetores associados a \lambda_1=4\). Precisamos resolver \[(A-4I)v=0.
Calcule A-4I:
A-4I=\left(\begin{array}{rr}5-4 & -1 \\[4pt] 3 & 1-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}1 & -1 \\[4pt] 3 & -3\end{array}\right).
Escrevendo o sistema linear (A-4I)\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0 obtemos as equações
\begin{cases} 1\cdot x - 1\cdot y = 0,\\[4pt] 3\cdot x - 3\cdot y = 0. \end{cases}
A segunda é múltiplo da primeira, então a condição é simplesmente x-y=0\], isto é \(x=y. Portanto todos os autovetores correspondentes a \lambda_1=4 são os vetores da forma
v=t\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.
(Escolhemos o parâmetro t para descrever todos os múltiplos do vetor não nulo \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.)]

Passo 6

Agora os autovetores para \lambda_2=2\). Resolvemos \[(A-2I)v=0.
Calcule A-2I:
A-2I=\left(\begin{array}{rr}5-2 & -1 \\[4pt] 3 & 1-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}3 & -1 \\[4pt] 3 & -1\end{array}\right).
O sistema (A-2I)\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0
\begin{cases} 3x - y = 0,\\[4pt] 3x - y = 0. \end{cases}
As duas equações são iguais; a condição é 3x-y=0\], ou \(y=3x. Portanto os autovetores associados a \lambda_2=2 são
v=t\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.]

Passo 7

Resumo rápido (dica para prova): quando os autovalores são distintos (aqui 4 e 2), os autovetores correspondentes são linearmente independentes — isso significa que a matriz tem dois autovetores independentes e, se for pedir, é diagonalizável sobre \mathbb{R}. Na prática para achar autovetores, basta resolver (A-\lambda I)v=0 e pegar um parâmetro livre para descrever todos os múltiplos.

Resposta

\lambda_1=4,\quad autovetores: \displaystyle v=t\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix},\\ t\neq0.\n
\lambda_2=2,\quad autovetores: \displaystyle v=t\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix},\\ t\neq0.]

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