Questão 2. Dado que
\lim _{x \rightarrow 2} f(x)=4, \quad \lim _{x \rightarrow 2} g(x)=-2, \quad \lim _{x \rightarrow 2} h(x)=0,
encontre, se existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.
c) \lim _{x \rightarrow 2} \frac{3 f(x)}{g(x)}

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações:
\lim_{x\to 2} f(x)=4,\qquad \lim_{x\to 2} g(x)=-2,\qquad \lim_{x\to 2} h(x)=0,
e pede para encontrar, se existir, o limite
\lim_{x\to 2} \frac{3 f(x)}{g(x)}.

Passo 2

Vou usar duas leis básicas de limites (vou explicá-las com calma):
\text{(lei do fator constante)}\quad \lim_{x\to a} \big(c\cdot u(x)\big)=c\cdot\lim_{x\to a} u(x),
onde c é uma constante real e u(x) é uma função cujo limite existe. Aqui c multiplica a função, então o limite sai multiplicado por c.
\text{(lei do quociente)}\quad \lim_{x\to a} \frac{u(x)}{v(x)}=\frac{\lim_{x\to a} u(x)}{\lim_{x\to a} v(x)}
desde que ambos os limites existam e \lim_{x\to a} v(x)\neq 0. A condição \lim v(x)\neq 0 é crucial: se o limite do denominador for zero, o quociente pode não existir ou pode divergir.

Passo 3

Aplique a lei do fator constante ao numerador 3f(x). Como sabemos que \lim_{x\to 2} f(x)=4 e 3 é constante, então
\lim_{x\to 2} 3f(x)=3\cdot\lim_{x\to 2} f(x)=3\cdot 4.
Calcule:
3\cdot 4 = 12,
logo
\lim_{x\to 2} 3f(x)=12.

Passo 4

Agora verifique a condição para aplicar a lei do quociente ao \dfrac{3f(x)}{g(x)}. Precisamos que \lim_{x\to 2} g(x) exista e seja diferente de zero. Do enunciado temos
\lim_{x\to 2} g(x) = -2,
que é um número bem definido e diferente de zero. Portanto a condição está satisfeita.

Passo 5

Aplicando a lei do quociente:
\lim_{x\to 2} \frac{3f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to 2} 3f(x)}{\lim_{x\to 2} g(x)}.
Substituindo os valores que já calculamos e foram dados:
\frac{\;12\;}{-2} = -6.

Passo 6

Portanto o limite existe e vale -6. Se o limite de g(x) tivesse sido 0, não poderíamos concluir assim e teríamos que analisar mais (poderia divergir ou não existir). Mas como aqui \lim_{x\to2} g(x)=-2\neq 0, a regra do quociente vale direto.

Resposta

-6

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