Em cada um dos problemas abaixo encontre a solução (de forma explícita) geral e/ou do problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que a gente encontre a solução geral (e/ou solução do problema de valor inicial, se houver — aqui só foi dada a equação, então vamos obter a solução geral).\n
Informações explícitas que temos:
Informações explícitas que temos:
A tarefa é encontrar uma relação entre
e
que satisfaça essa equação diferencial (normalmente uma constante
em uma expressão implícita).
Passo 2
Vamos verificar se a equação é do tipo que vem de uma “função potencial”
tal que
Explicando de forma simples: se existir uma função
assim, então
, e a equação
equivale a
, ou seja
.\n
Para testar se isso é possível, calculamos as derivadas parciais cruzadas e comparamos:
Para testar se isso é possível, calculamos as derivadas parciais cruzadas e comparamos:
Como
(ambas iguais a
), a equação é exata — isto é, existe
com as propriedades acima.
Passo 3
Como a equação é exata, procuramos
integrando
em relação a
, tratando
como constante:
Fazendo a integração termo a termo (lembre:
é constante ao integrar em
):
Portanto obtemos, até uma “constante” que pode depender de
,
onde
é uma função desconhecida de
(análogo a uma constante de integração, mas pode depender de
porque integramos apenas em
).
Passo 4
Agora impomos a segunda condição
. Calculamos
a partir da expressão encontrada:
Devemos igualar isso a
:
Cancelando
dos dois lados obtemos uma equação para
:
Passo 5
Integramos
em relação a
para obter
:
onde
é uma constante real. Assim a função potencial completa é
Como a solução da equação diferencial exata é dada por
, podemos absorver o
e escrever a solução geral implícita como abaixo.