Em cada um dos problemas abaixo encontre a solução (de forma explícita) geral e/ou do problema de valor inicial dado.
7.1\left(3 x^{2}-2 x y+2\right) d x+\left(6 y^{2}-x^{2}+3\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(3x^{2}-2xy+2)\,dx+(6y^{2}-x^{2}+3)\,dy=0
e pede que a gente encontre a solução geral (e/ou solução do problema de valor inicial, se houver — aqui só foi dada a equação, então vamos obter a solução geral).\n
Informações explícitas que temos:
M(x,y)=3x^{2}-2xy+2
N(x,y)=6y^{2}-x^{2}+3
A tarefa é encontrar uma relação entre x e y que satisfaça essa equação diferencial (normalmente uma constante C em uma expressão implícita).

Passo 2

Vamos verificar se a equação é do tipo que vem de uma “função potencial” \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x}=M(x,y)\quad\text{e}\quad\frac{\partial \psi}{\partial y}=N(x,y).
Explicando de forma simples: se existir uma função \psi assim, então d\psi=M\,dx+N\,dy, e a equação M\,dx+N\,dy=0 equivale a d\psi=0, ou seja \psi(x,y)=\text{constante}.\n
Para testar se isso é possível, calculamos as derivadas parciais cruzadas e comparamos:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}-2xy+2\bigr)=-2x,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(6y^{2}-x^{2}+3\bigr)=-2x.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x} (ambas iguais a -2x), a equação é exata — isto é, existe \psi(x,y) com as propriedades acima.

Passo 3

Como a equação é exata, procuramos \psi(x,y) integrando M em relação a x, tratando y como constante:
\psi(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int\bigl(3x^{2}-2xy+2\bigr)\,dx.
Fazendo a integração termo a termo (lembre: y é constante ao integrar em x):
\int 3x^{2}\,dx = x^{3},\qquad \int -2xy\,dx = -x^{2}y,\qquad \int 2\,dx = 2x.
Portanto obtemos, até uma “constante” que pode depender de y,
\psi(x,y)=x^{3}-x^{2}y+2x + h(y),
onde h(y) é uma função desconhecida de y (análogo a uma constante de integração, mas pode depender de y porque integramos apenas em x).

Passo 4

Agora impomos a segunda condição \dfrac{\partial \psi}{\partial y}=N(x,y). Calculamos \psi_{y} a partir da expressão encontrada:
\frac{\partial \psi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}-x^{2}y+2x + h(y)\bigr)=-x^{2}+h'(y).
Devemos igualar isso a N(x,y):
-x^{2}+h'(y)=6y^{2}-x^{2}+3.
Cancelando -x^{2} dos dois lados obtemos uma equação para h'(y):
h'(y)=6y^{2}+3.

Passo 5

Integramos h'(y) em relação a y para obter h(y):
h(y)=\int (6y^{2}+3)\,dy = 2y^{3}+3y + C,
onde C é uma constante real. Assim a função potencial completa é
\psi(x,y)=x^{3}-x^{2}y+2x + 2y^{3}+3y + C.
Como a solução da equação diferencial exata é dada por \psi(x,y)=\text{constante}, podemos absorver o +C e escrever a solução geral implícita como abaixo.

Resposta

x^{3}-x^{2}y+2x+2y^{3}+3y=C

Exercícios relacionados