Em cada um dos problemas abaixo encontre a solução (de forma explícita) geral e/ou do problema de valor inicial dado.
7.4 y^{\prime}=2 x /\left(y+x^{2} y\right), y(0)=-2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e uma condição inicial. Dados e pedido:
  • Equação: 7{,}4\,y'=\dfrac{2x}{y+x^{2}y}.
  • Condição inicial: y(0)=-2.
    O que se pede:
  • Encontrar a solução geral (de forma explícita) da equação diferencial.
  • Encontrar a solução que satisfaz o problema de valor inicial dado.

Passo 2

Primeiro passo simples de limpeza algébrica: fatoramos o denominador à direita. Observamos que
y+x^{2}y=y(1+x^{2}).
Portanto a equação fica
7{,}4\,y'=\frac{2x}{y(1+x^{2})}.

Passo 3

Vamos isolar y' e preparar para separar variáveis. Dividindo ambos os lados por 7{,}4 e multiplicando por y obtemos
y\,y'=\frac{2x}{7{,}4\,(1+x^{2})}.
Lembre que y'=\dfrac{dy}{dx}, logo a igualdade acima pode ser escrita como
y\,\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{7{,}4\,(1+x^{2})}.
Agora separamos as variáveis y e x:
y\,dy=\frac{2x}{7{,}4\,(1+x^{2})}\,dx.
Isto é uma equação separável — a técnica agora é integrar ambos os lados.

Passo 4

Integramos os dois lados em relação às suas variáveis:
\int y\,dy=\int \frac{2x}{7{,}4\,(1+x^{2})}\,dx.

Passo 5

Calculamos as integrais explicitamente.
Esquerda:
\int y\,dy=\frac{y^{2}}{2}+C_{1}.
Direita: fatoramos a constante \dfrac{2}{7{,}4}:
\int \frac{2x}{7{,}4\,(1+x^{2})}\,dx=\frac{2}{7{,}4}\int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx.
Para \int \dfrac{x}{1+x^{2}}\,dx fazemos a substituição u=1+x^{2}, então du=2x\,dx e \int \dfrac{x}{1+x^{2}}\,dx=\dfrac{1}{2}\ln(1+x^{2}). Portanto
\frac{2}{7{,}4}\int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx=\frac{2}{7{,}4}\cdot\frac{1}{2}\ln(1+x^{2})=\frac{1}{7{,}4}\ln(1+x^{2}).

Passo 6

Igualando as duas integrais (e juntando constantes) obtemos
\frac{y^{2}}{2}=\frac{1}{7{,}4}\ln(1+x^{2})+C.
Multiplicando por 2:
y^{2}=\frac{2}{7{,}4}\ln(1+x^{2})+C_{2},
onde C_{2}=2C é constante arbitrária. Agora simplificamos o coeficiente numérico: 7{,}4=\dfrac{74}{10}, então
\frac{2}{7{,}4}=\frac{2}{74/10}=\frac{20}{74}=\frac{10}{37}.
Assim a forma mais simples é
y^{2}=\frac{10}{37}\ln(1+x^{2})+C_{2}.

Passo 7

A solução explícita geral (colocando a raiz) é
y(x)=\pm\sqrt{\frac{10}{37}\ln(1+x^{2})+C_{2}}.
Aqui C_{2} é constante real arbitrária. Essa é a família de soluções explícitas (com escolha do sinal mais ou menos).

Passo 8

Agora aplicamos a condição inicial y(0)=-2. Substituindo x=0 em \ln(1+x^{2}) obtemos \ln(1+0)=0. Então
-2=\pm\sqrt{C_{2}}.
Isto implica \sqrt{C_{2}}=2 e o sinal escolhido deve ser o negativo para corresponder a -2. Logo C_{2}=4.

Passo 9

Portanto a solução particular que satisfaz y(0)=-2 é
y(x)=-\sqrt{\frac{10}{37}\ln(1+x^{2})+4}.
Comentário sobre domínio: a solução só faz sentido enquanto o radicando for não negativo, isto é enquanto \dfrac{10}{37}\ln(1+x^{2})+4\ge 0. No ponto x=0 o radicando vale 4>0, então a condição inicial está bem definida. Note também que y nunca é zero numa vizinhança de x=0 para esta constante, o que é importante porque a equação original tem y no denominador (soluções que cruzassem y=0 precisariam ser tratadas com cuidado).

Resposta

Geral: y(x)=\pm\sqrt{\dfrac{10}{37}\ln(1+x^{2})+C}
Particular com y(0)=-2: y(x)=-\sqrt{\dfrac{10}{37}\ln(1+x^{2})+4}

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