Em cada um dos problemas abaixo encontre a solução (de forma explícita) geral e/ou do problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e uma condição inicial. Dados e pedido:
- Equação:
. - Condição inicial:
.
O que se pede: - Encontrar a solução geral (de forma explícita) da equação diferencial.
- Encontrar a solução que satisfaz o problema de valor inicial dado.
Passo 2
Primeiro passo simples de limpeza algébrica: fatoramos o denominador à direita. Observamos que
Portanto a equação fica
Passo 3
Vamos isolar
e preparar para separar variáveis. Dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
obtemos
Lembre que
, logo a igualdade acima pode ser escrita como
Agora separamos as variáveis
e
:
Isto é uma equação separável — a técnica agora é integrar ambos os lados.
Passo 4
Integramos os dois lados em relação às suas variáveis:
Passo 5
Calculamos as integrais explicitamente.
Esquerda:
Direita: fatoramos a constante
:
Para
fazemos a substituição
, então
e
. Portanto
Passo 6
Igualando as duas integrais (e juntando constantes) obtemos
Multiplicando por
:
onde
é constante arbitrária. Agora simplificamos o coeficiente numérico:
, então
Assim a forma mais simples é
Passo 7
A solução explícita geral (colocando a raiz) é
Aqui
é constante real arbitrária. Essa é a família de soluções explícitas (com escolha do sinal mais ou menos).
Passo 8
Agora aplicamos a condição inicial
. Substituindo
em
obtemos
. Então
Isto implica
e o sinal escolhido deve ser o negativo para corresponder a
. Logo
.
Passo 9
Portanto a solução particular que satisfaz
é
Comentário sobre domínio: a solução só faz sentido enquanto o radicando for não negativo, isto é enquanto
. No ponto
o radicando vale
, então a condição inicial está bem definida. Note também que
nunca é zero numa vizinhança de
para esta constante, o que é importante porque a equação original tem
no denominador (soluções que cruzassem
precisariam ser tratadas com cuidado).
Resposta
Geral:
Particular com
: