Em cada um dos Problemas de 1 a 6, determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não linear.
2. y^{\prime}-2 y=t^{2} e^{2 t}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a equação diferencial dada:
  • Determinar a ordem da equação.
  • Dizer se a equação é linear ou não linear.
A equação fornecida é
y' - 2y = t^{2} e^{2t}.

Passo 2

O que significa “ordem” de uma equação diferencial:
  • A ordem é o maior número de derivadas da função incógnita que aparece na equação.
  • Exemplos rápidos: em \,y''+y=0 a ordem é \,2 porque aparece y''; em \,y'+\sin y=0 a ordem é \,1 porque a maior derivada é y'.
Agora olhe para a equação dada: aparece apenas \,y' (uma única derivada de primeira ordem) e não há y'' ou derivadas de ordem superior. Portanto a ordem é
\text{ordem} = 1.

Passo 3

O que significa “linearidade” de uma equação diferencial:
  • Uma equação diferencial de ordem n é linear se a incógnita y e todas as suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por funções do independente (por exemplo t) e somadas — nunca aparecem produtos entre y e suas derivadas, nem potências como y^2, nem funções não lineares em y (como \sin y, e^{y}, (y')^2, y\,y', etc.).
  • A forma geral de uma equação linear de ordem n é
a_n(t)\,y^{(n)} + a_{n-1}(t)\,y^{(n-1)} + \cdots + a_1(t)\,y' + a_0(t)\,y = g(t),
onde os coeficientes a_k(t) e o termo fonte g(t) são funções só de t (o variável independente).
Exemplos para fixar:
  • Linear: \,y'' + \sin(t)\,y' + e^{t}y = \cos t — aqui y e suas derivadas aparecem de forma linear.
  • Não linear: \,y' = y^2 ou \,y'' + (y')^2 = 0 — aparecem potências de y ou de y', logo não lineares.

Passo 4

Colocando a equação dada em forma padrão de primeira ordem:
y' + (-2)\,y = t^{2} e^{2t}.
Isto é do tipo \,y' + p(t)\,y = q(t) com p(t)=-2 e q(t)=t^{2}e^{2t}. Note que:
  • Os coeficientes p(t) e q(t) dependem apenas de t.
  • A incógnita y e sua derivada y' aparecem apenas em potência 1 e somados (não há termos como y^2, y\,y', \sin y, (y')^2, etc.).
Portanto a equação é linear.

Passo 5

Recapitulando de forma curta e encorajadora:
  • Ordem: verifique a maior derivada presente — aqui é y' (primeira derivada), então ordem \,1.
  • Linearidade: escreva na forma padrão e cheque se y e suas derivadas aparecem apenas linearmente — aqui sim, então é linear.
Força aí — essa classificação é rápida na prova: primeiro olhe a maior derivada, depois verifique se há termos não lineares envolvendo y ou y'.

Resposta

Ordem: 1
Linearidade: linear

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