Em cada um dos Problemas de 1 a 6, determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não linear.
2.
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Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a equação diferencial dada:
- Determinar a ordem da equação.
- Dizer se a equação é linear ou não linear.
A equação fornecida é
Passo 2
O que significa “ordem” de uma equação diferencial:
- A ordem é o maior número de derivadas da função incógnita que aparece na equação.
- Exemplos rápidos: em
a ordem é porque aparece ; em a ordem é porque a maior derivada é .
Agora olhe para a equação dada: aparece apenas
(uma única derivada de primeira ordem) e não há
ou derivadas de ordem superior. Portanto a ordem é
Passo 3
O que significa “linearidade” de uma equação diferencial:
- Uma equação diferencial de ordem
é linear se a incógnita e todas as suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por funções do independente (por exemplo ) e somadas — nunca aparecem produtos entre e suas derivadas, nem potências como , nem funções não lineares em (como , , , , etc.). - A forma geral de uma equação linear de ordem
é
onde os coeficientes
e o termo fonte
são funções só de
(o variável independente).
Exemplos para fixar:
- Linear:
— aqui e suas derivadas aparecem de forma linear. - Não linear:
ou — aparecem potências de ou de , logo não lineares.
Passo 4
Colocando a equação dada em forma padrão de primeira ordem:
Isto é do tipo
com
e
. Note que:
- Os coeficientes
e dependem apenas de . - A incógnita
e sua derivada aparecem apenas em potência e somados (não há termos como , , , , etc.).
Portanto a equação é linear.
Passo 5
Recapitulando de forma curta e encorajadora:
- Ordem: verifique a maior derivada presente — aqui é
(primeira derivada), então ordem . - Linearidade: escreva na forma padrão e cheque se
e suas derivadas aparecem apenas linearmente — aqui sim, então é linear.
Força aí — essa classificação é rápida na prova: primeiro olhe a maior derivada, depois verifique se há termos não lineares envolvendo
ou
.
Resposta
Ordem:
Linearidade: linear
Linearidade: linear