9. Determine o conjunto imagem da função
(a) Escreva a função na forma definida por partes.
(b) Determine o conjunto imagem.
(b) Determine o conjunto imagem.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a função
dada:
- (a) Escrever
na forma definida por partes. - (b) Determinar o conjunto imagem (o conjunto de valores que
assume).
As informações fornecidas são:
Passo 2
Primeiro, lembrar a definição em partes do valor absoluto. Para qualquer expressão
Aqui
). A ideia é identificar onde
é não negativo e onde é negativo, e substituir accordingly. Isso transforma a função com valor absoluto em uma função definida por partes, sem o signo de módulo.]
Passo 3
Aplicando a definição ao nosso caso, tome
. As duas regiões são:
- Se
, isto é, se , então . - Se
, isto é, se , então .
Substituindo em
em cada região obtemos duas expressões diferentes.
Passo 4
Calcular e simplificar em cada caso:
Para
:
Para
:
Portanto a forma por partes é
Passo 5
Agora vamos analisar o conjunto imagem examinando cada ramo:
Ramo 1: para
,
.
- É uma reta de coeficiente angular
(decrescente). - Quando
, . - Quando
, . Como aqui , o valor não é atingido por pontos estritamente menores que , mas é o limite pela esquerda.
Logo os valores assumidos por este ramo são
(todos os valores maiores que
).
Ramo 2: para
,
.
- É uma reta de coeficiente angular
(crescente). - Em
temos . Portanto o valor é efetivamente atingido (no ponto ). - Quando
, .
Logo os valores assumidos por este ramo são
(todos os valores maiores ou iguais a
).
Passo 6
Combinação dos dois ramos:
- O ramo à esquerda dá
. - O ramo à direita dá
.
Ambos cobrem todos os valores maiores que, e o valor é atingido em , logo o conjunto imagem total é
Observação intuitiva: a função tem um “V” deslocado com vértice em
e valor mínimo
, por isso o menor valor é
e todos os valores acima de
também ocorrem.
Resposta
(a)
(b)
]