9. Determine o conjunto imagem da função

f(x)=2|x-3|+x-1
(a) Escreva a função na forma definida por partes.
(b) Determine o conjunto imagem.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a função f dada:
  • (a) Escrever f na forma definida por partes.
  • (b) Determinar o conjunto imagem (o conjunto de valores que f(x) assume).
As informações fornecidas são:
f(x)=2|x-3|+x-1.

Passo 2

Primeiro, lembrar a definição em partes do valor absoluto. Para qualquer expressão u\), \[|u|=\begin{cases} u, & \text{se } u\ge 0,\\[4pt] -\,u, & \text{se } u<0. \end{cases}
Aqui u\] é uma expressão qualquer (por exemplo \(u=x-3). A ideia é identificar onde u é não negativo e onde é negativo, e substituir accordingly. Isso transforma a função com valor absoluto em uma função definida por partes, sem o signo de módulo.]

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso, tome u=x-3. As duas regiões são:
  • Se x-3\ge 0, isto é, se x\ge 3, então |x-3|=x-3.
  • Se x-3<0, isto é, se x<3, então |x-3|=-(x-3)=3-x.
Substituindo em f(x)=2|x-3|+x-1 em cada região obtemos duas expressões diferentes.

Passo 4

Calcular e simplificar em cada caso:
Para x\ge 3:
f(x)=2(x-3)+x-1=2x-6+x-1=3x-7.
Para x<3:
f(x)=2(3-x)+x-1=6-2x+x-1=5-x.
Portanto a forma por partes é
f(x)=\begin{cases} 5-x, & x<3,\\[4pt] 3x-7, & x\ge 3. \end{cases}]

Passo 5

Agora vamos analisar o conjunto imagem examinando cada ramo:
Ramo 1: para x<3, f(x)=5-x.
  • É uma reta de coeficiente angular -1 (decrescente).
  • Quando x\to -\infty, 5-x\to +\infty.
  • Quando x\to 3^{-}, 5-x\to 5-3=2. Como aqui x<3, o valor 2 não é atingido por pontos estritamente menores que 3, mas é o limite pela esquerda.
Logo os valores assumidos por este ramo são (2,+\infty) (todos os valores maiores que 2).
Ramo 2: para x\ge 3, f(x)=3x-7.
  • É uma reta de coeficiente angular 3 (crescente).
  • Em x=3 temos f(3)=3\cdot 3-7=2. Portanto o valor 2 é efetivamente atingido (no ponto x=3).
  • Quando x\to +\infty, 3x-7\to +\infty.
Logo os valores assumidos por este ramo são [2,+\infty) (todos os valores maiores ou iguais a 2).

Passo 6

Combinação dos dois ramos:
  • O ramo à esquerda dá (2,+\infty).
  • O ramo à direita dá [2,+\infty).
    Ambos cobrem todos os valores maiores que 2, e o valor 2 é atingido em x=3, logo o conjunto imagem total é
[2,+\infty).
Observação intuitiva: a função tem um “V” deslocado com vértice em x=3 e valor mínimo 2, por isso o menor valor é 2 e todos os valores acima de 2 também ocorrem.

Resposta

(a) f(x)=\begin{cases} 5-x, & x<3,\\[4pt] 3x-7, & x\ge 3. \end{cases}
(b) \operatorname{Im}(f)=[2,+\infty).]

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