Determine f^{\prime}(x) para:
\begin{aligned} & f(x)=3 x^{2}-1 \\\ & f(x)=5 x-\frac{1}{x} \\\ & f(x)=\sqrt[3]{x} \\\ & f(x)=\frac{x}{4}-x^{7} \\\ & f(x)=x^{3}-2 x^{2}+6 x \\\ & f(x)=\frac{3}{x^{5}}-4 x^{5} \\\ & f(x)=e^{x} \\\ & f(x)=\frac{1}{2}^{x} \\\ & f(x)=3^{x} \\\ & f(x)=\log _{3}(x) \end{aligned}
\begin{aligned} & f(x)=\log _{6 / 5}(x) \\\ & f(x)=\ln (x) \\\ & f(x)=\operatorname{sec} (x) \\\ & f(x)=\cos (x)+\operatorname{sen}(x) \\\ & f(x)=2 \operatorname{tg}(x) \\\ & f(x)=\frac{3 \operatorname{arcsen}(x)}{2} \\\ & f(x)=\operatorname{cossec}(x)-\operatorname{cotg}(x) \\\ & f(x)=12-\operatorname{arctg}(x) \\\ & f(x)=2^{x}\left(x^{2}-x\right) \\\ & f(x)=7 x \cos (x) \\\ & f(x)=e^{x}(\sqrt{x}+1) \end{aligned}
\begin{aligned} & f(x)=\log _{2}(x)\left(3 x^{3}-1\right) \\\ & f(x)=2 x \operatorname{sen}(x) \\\ & f(x)=\left(x^{5}-3\right) \sqrt[5]{(x)} \\\ & f(x)=\frac{x^{2}-2 x+1}{x-1} \\\ & f(x)=\frac{3 x}{\cos (x)} \\\ & f(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos (x)} \\\ & f(x)=\frac{e^{x}}{x+1} \\\ & f(x)=-\frac{\ln (x)}{x} \\\ & f(x)=\frac{1}{\operatorname{arccos} (x)} \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada f'(x) para cada uma das 30 funções listadas. Vou manter a mesma ordem do enunciado e apresentar cada derivada. As funções dadas (na ordem) são:
\begin{aligned} &1.\; f(x)=3x^{2}-1,\quad 2.\; f(x)=5x-\frac{1}{x},\quad 3.\; f(x)=\sqrt[3]{x},\quad 4.\; f(x)=\frac{x}{4}-x^{7},\\\ &5.\; f(x)=x^{3}-2x^{2}+6x,\quad 6.\; f(x)=\frac{3}{x^{5}}-4x^{5},\quad 7.\; f(x)=e^{x},\quad 8.\; f(x)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x},\\\ &9.\; f(x)=3^{x},\quad 10.\; f(x)=\log_{3}(x),\quad 11.\; f(x)=\log_{6/5}(x),\quad 12.\; f(x)=\ln(x),\\\ &13.\; f(x)=\operatorname{sec}(x),\quad 14.\; f(x)=\cos(x)+\sin(x),\quad 15.\; f(x)=2\tan(x),\quad 16.\; f(x)=\frac{3}{2}\arcsin(x),\\\ &17.\; f(x)=\csc(x)-\cot(x),\quad 18.\; f(x)=12-\arctan(x),\quad 19.\; f(x)=2^{x}\bigl(x^{2}-x\bigr),\quad 20.\; f(x)=7x\cos(x),\\\ &21.\; f(x)=e^{x}\bigl(\sqrt{x}+1\bigr),\quad 22.\; f(x)=\log_{2}(x)\bigl(3x^{3}-1\bigr),\quad 23.\; f(x)=2x\sin(x),\\\ &24.\; f(x)=\bigl(x^{5}-3\bigr)\sqrt[5]{x},\quad 25.\; f(x)=\frac{x^{2}-2x+1}{x-1},\quad 26.\; f(x)=\frac{3x}{\cos(x)},\\\ &27.\; f(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)},\quad 28.\; f(x)=\frac{e^{x}}{x+1},\quad 29.\; f(x)=-\frac{\ln(x)}{x},\quad 30.\; f(x)=\frac{1}{\operatorname{arccos}(x)}. \end{aligned}

Passo 2

Revisão curta das regras que vou usar (com explicação rápida de cada fórmula):
\text{(Soma/constantes)}\quad \frac{d}{dx}\bigl(a\!+\!b(x)\bigr)=\frac{d}{dx}a+\frac{d}{dx}b(x).
Constante tem derivada zero; somas e constantes multiplicativas saem na frente.
\text{(Regra da potência)}\quad \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.ê
Aqui n pode ser inteiro ou fracionário. Ex.: x^{1/3} vira \tfrac{1}{3}x^{-2/3}.
\text{(Produto)}\quad \frac{d}{dx}\bigl(u(x)v(x)\bigr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
\text{(Quociente)}\quad \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
\text{(Regra da cadeia)}\quad \frac{d}{dx}g(h(x))=g'(h(x))\cdot h'(x).
Usada quando uma função está dentro de outra.
\text{(Exponenciais)}\quad \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x},\qquad \frac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\ln a\quad(a>0).
\text{(Logaritmos)}\quad \frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x},\qquad \frac{d}{dx}\log_{a}x=\frac{1}{x\ln a}.
\text{(Trigonometria)}\quad \frac{d}{dx}\sin x=\cos x,\quad \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x,\quad \frac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^{2}x,
e as derivadas das funções reciprocais e inversas:
\frac{d}{dx}\operatorname{sec} x=\operatorname{sec} x\tan x,\quad \frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x,\quad \frac{d}{dx}\cot x=-\csc^{2}x.
\text{(Arco-trig)}\quad \frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},\quad \frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^{2}},\quad \frac{d}{dx}\operatorname{arccos} x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Vou aplicar essas regras, mostrando passo a passo quando for necessário.

Passo 3

Derivo as funções 1 a 5, aplicando regra da potência e soma:
  1. f(x)=3x^{2}-1.
f'(x)=3\cdot 2x^{1}=6x.
  1. f(x)=5x-\dfrac{1}{x}=5x-x^{-1}.
    Derivando termo a termo:
f'(x)=5 -(-1)x^{-2}=5+\frac{1}{x^{2}}.
  1. f(x)=\sqrt[3]{x}=x^{1/3}. Pela regra da potência:
f'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3}.
  1. f(x)=\dfrac{x}{4}-x^{7}=\frac{1}{4}x-x^{7}.
f'(x)=\frac{1}{4}-7x^{6}.
  1. f(x)=x^{3}-2x^{2}+6x.
f'(x)=3x^{2}-4x+6.

Passo 4

Funções 6 a 10:
  1. f(x)=\dfrac{3}{x^{5}}-4x^{5}=3x^{-5}-4x^{5}.
f'(x)=3(-5)x^{-6}-4\cdot 5x^{4}=-15x^{-6}-20x^{4}=\,-\frac{15}{x^{6}}-20x^{4}.
  1. f(x)=e^{x}.
f'(x)=e^{x}.
  1. f(x)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}. Usando \dfrac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\ln a:
f'(x)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right).
  1. f(x)=3^{x}.
f'(x)=3^{x}\ln 3.
  1. f(x)=\log_{3}(x). Usando a fórmula do log base a:
f'(x)=\frac{1}{x\ln 3}.

Passo 5

Funções 11 a 15:
  1. f(x)=\log_{6/5}(x). Mesma fórmula:
f'(x)=\frac{1}{x\ln\!\left(\tfrac{6}{5}\right)}.
  1. f(x)=\ln(x).
f'(x)=\frac{1}{x}.
  1. f(x)=\operatorname{sec}(x). Usando derivada da secante:
f'(x)=\operatorname{sec} x\tan x.
  1. f(x)=\cos(x)+\sin(x). Derivando termo a termo:
f'(x)=-\sin x+\cos x.
  1. f(x)=2\tan(x). Constante multiplicativa sai na frente:
f'(x)=2\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 6

Funções 16 a 20:
  1. f(x)=\dfrac{3}{2}\arcsin(x)=\dfrac{3}{2}\arcsin x. Use derivada de \arcsin:
f'(x)=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{3}{2\sqrt{1-x^{2}}}.
  1. f(x)=\csc(x)-\cot(x). Derivando cada uma:
f'(x)=-\csc x\cot x -(-\csc^{2}x)=-\csc x\cot x+\csc^{2}x.
  1. f(x)=12-\arctan(x). Constante some a zero e arctan tem derivada 1/(1+x^{2}):
f'(x)=-\frac{1}{1+x^{2}}.
  1. f(x)=2^{x}\bigl(x^{2}-x\bigr). Produto entre 2^{x} e (x^{2}-x). Aplicando a regra do produto e \dfrac{d}{dx}2^{x}=2^{x}\ln 2:
\begin{aligned} f'(x)&=2^{x}\ln 2\cdot (x^{2}-x)+2^{x}\cdot(2x-1)\\\ &=2^{x}\Bigl((x^{2}-x)\ln 2 + 2x-1\Bigr). \end{aligned}
  1. f(x)=7x\cos x. Produto 7\cdot(x\cos x); constante 7 sai na frente. Derivada de x\cos x é x(-\sin x)+\cos x:
f'(x)=7\bigl(\cos x - x\sin x\bigr).

Passo 7

Funções 21 a 25:
  1. f(x)=e^{x}\bigl(\sqrt{x}+1\bigr)=e^{x}\bigl(x^{1/2}+1\bigr). Produto: u=e^{x},\;v=\sqrt{x}+1.
\begin{aligned} f'(x)&=e^{x}\bigl(\sqrt{x}+1\bigr)+e^{x}\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}\\\ &=e^{x}\left(\sqrt{x}+1+\frac{1}{2\sqrt{x}}\right). \end{aligned}
  1. f(x)=\log_{2}(x)\bigl(3x^{3}-1\bigr). Produto entre \log_{2}x e 3x^{3}-1. Use \dfrac{d}{dx}\log_{2}x=\dfrac{1}{x\ln 2}:
f'(x)=\frac{3x^{3}-1}{x\ln 2}+9x^{2}\log_{2}x.
  1. f(x)=2x\sin x. Produto 2\cdot(x\sin x):
f'(x)=2\bigl(x\cos x+\sin x\bigr).
  1. f(x)=\bigl(x^{5}-3\bigr)\sqrt[5]{x}=\bigl(x^{5}-3\bigr)x^{1/5}. Uso produto (ou simplifico e uso potência):
\begin{aligned} f'(x)&=(5x^{4})x^{1/5}+(x^{5}-3)\cdot\frac{1}{5}x^{-4/5}\\\ &=5x^{21/5}+\frac{1}{5}\bigl(x^{21/5}-3x^{-4/5}\bigr)\\\ &=\frac{26}{5}x^{21/5}-\frac{3}{5}x^{-4/5}. \end{aligned}
  1. f(x)=\dfrac{x^{2}-2x+1}{x-1}. Observação: x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}. Para x\neq 1 simplifica para f(x)=x-1. Portanto, para x\neq 1,
f'(x)=1.
(Comentário: na forma original há uma descontinuidade removível em x=1; a derivada do ramo simplificado é 1 onde está definida.)

Passo 8

Funções 26 a 30:
  1. f(x)=\dfrac{3x}{\cos x}=3x\operatorname{sec} x. Produto 3\cdot(x\operatorname{sec} x):
\begin{aligned} f'(x)&=3\bigl(x\operatorname{sec} x\tan x+\operatorname{sec} x\bigr)\\\ &=3\operatorname{sec} x\bigl(x\tan x+1\bigr). \end{aligned}
  1. f(x)=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\tan x.
f'(x)=\operatorname{sec}^{2}x.
  1. f(x)=\dfrac{e^{x}}{x+1}. Uso quociente com u=e^{x}, v=x+1:
\begin{aligned} f'(x)&=\frac{e^{x}(x+1)-e^{x}\cdot 1}{(x+1)^{2}}=\frac{e^{x}x}{(x+1)^{2}}. \end{aligned}
  1. f(x)=-\dfrac{\ln x}{x}=-\ln x\cdot x^{-1}. Uso produto/quotient (mais simples: regra do quociente):
\begin{aligned} f'(x)&=-\frac{\frac{1}{x}\cdot x - \ln x\cdot 1}{x^{2}}\\\ &=-\frac{1-\ln x}{x^{2}}=\frac{\ln x-1}{x^{2}}. \end{aligned}
  1. f(x)=\dfrac{1}{\operatorname{arccos} x}=\bigl(\operatorname{arccos} x\bigr)^{-1}. Regra da cadeia: se g(u)=u^{-1} então g'(u)=-u^{-2}, com u=\operatorname{arccos} x e u'=-1/\sqrt{1-x^{2}}. Assim
\begin{aligned} f'(x)&=-\bigl(\operatorname{arccos} x\bigr)^{-2}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)\\\ &=\frac{1}{\bigl(\operatorname{arccos} x\bigr)^{2}\sqrt{1-x^{2}}}. \end{aligned}

Resposta

6x
5+\dfrac{1}{x^{2}}
\dfrac{1}{3}x^{-2/3}
\dfrac{1}{4}-7x^{6}
3x^{2}-4x+6
-15x^{-6}-20x^{4}
e^{x}
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)
3^{x}\ln 3
\dfrac{1}{x\ln 3}
\dfrac{1}{x\ln\!\left(\tfrac{6}{5}\right)}
\dfrac{1}{x}
\operatorname{sec} x\tan x
-\sin x+\cos x
2\operatorname{sec}^{2}x
\dfrac{3}{2\sqrt{1-x^{2}}}
-\csc x\cot x+\csc^{2}x
-\dfrac{1}{1+x^{2}}
2^{x}\Bigl((x^{2}-x)\ln 2+2x-1\Bigr)
7\bigl(\cos x - x\sin x\bigr)
e^{x}\!\left(\sqrt{x}+1+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)
\dfrac{3x^{3}-1}{x\ln 2}+9x^{2}\log_{2}x
2\bigl(x\cos x+\sin x\bigr)
\dfrac{26}{5}x^{21/5}-\dfrac{3}{5}x^{-4/5}
1 (para x\neq 1)
3\operatorname{sec} x\bigl(x\tan x+1\bigr)
\operatorname{sec}^{2}x
\dfrac{e^{x}x}{(x+1)^{2}}
\dfrac{\ln x-1}{x^{2}}
\dfrac{1}{(\operatorname{arccos} x)^{2}\sqrt{1-x^{2}}}

Exercícios relacionados