Em cada um dos Problemas, encontre a solucão estacionária da equacâo do calor
, que satisfaz o conjunto dado de condicões de contorno.
Passo 1
Aqui, a gente tem que encontrar a solução estacionária da equação do calor
com as condições de contorno
e
. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais parciais, mais especificamente da equação do calor. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma solução estacionária e como aplicar as condições de contorno para determinar essa solução.
Passo 2
Primeiro, solução estacionária significa que a temperatura não muda com o tempo. Então,
. Isso simplifica a equação do calor para:
Dividindo ambos os lados por
(supondo que
):
Passo 3
Agora, temos a equação diferencial ordinária
. Para resolver isso, vamos integrar duas vezes em relação a
.
Primeira integração:
Onde
é uma constante de integração.
Segunda integração:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 4
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar
e
.
Primeira condição:
Substituindo na expressão da solução:
Então,
.
Passo 5
Segunda condição:
Substituindo na expressão da solução:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução estacionária é: