Em cada um dos Problemas, encontre a solucão estacionária da equacâo do calor ut=alpha ux x, que satisfaz o conjunto dado de condicões de contorno.
u(0, t)=30, u(40, t)=20

Passo 1

Aqui, a gente tem que encontrar a solução estacionária da equação do calor ut = alpha uxx com as condições de contorno u(0, t) = 30 e u(40, t) = 20. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais parciais, mais especificamente da equação do calor. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma solução estacionária e como aplicar as condições de contorno para determinar essa solução.

Passo 2

Primeiro, solução estacionária significa que a temperatura não muda com o tempo. Então, ut = 0. Isso simplifica a equação do calor para:
0 = alpha uxx
Dividindo ambos os lados por alpha (supondo que alpha neq 0):
uxx = 0

Passo 3

Agora, temos a equação diferencial ordinária uxx = 0. Para resolver isso, vamos integrar duas vezes em relação a x.
Primeira integração:
ux = C
Onde C é uma constante de integração.
Segunda integração:
u(x) = Cx + D
Onde D é outra constante de integração.

Passo 4

Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar C e D.
Primeira condição: u(0) = 30
Substituindo na expressão da solução:
30 = C cdot 0 + D
Então, D = 30.

Passo 5

Segunda condição: u(40) = 20
Substituindo na expressão da solução:
20 = C cdot 40 + 30
Resolvendo para C:
C cdot 40 = 20 - 30
C cdot 40 = -10
C = -1040 = -14

Resposta

A solução estacionária é:
u(x) = 30 - 14x

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