Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
63) sum k!2^k+2

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série sumk=1^infty k!2^k+2. O conteúdo é convergência de séries numéricas e vamos usar o critério da razão de d’Alembert.

Passo 2

Definimos o termo geral ak = k!2^k+2. No critério da razão, calculamos o quociente L=limktoinfty l|tfracak+1akr|.

Passo 3

Calculamos
ak+1ak = (k+1)! / 2^(k+1)+2k! / 2^k+2 = (k+1)!k! cdot 2^k+22^k+3 = k+12
Tomando o limite quando ktoinfty,
L = limktoinfty k+12 = +infty

Passo 4

Como L>1, o critério da razão nos diz que a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo critério da razão de d’Alembert.

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