Calcule as integrais abaixo.
integral triplaB x d x d y d z, onde B é o conjunto x^2+y^2 <= 4, x >= 0 e x+y <= z <= x+y+1. (Resp: 163 )

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla integral triplaB x,dx,dy,dz, onde B é dado por x^2+y^2 <= 4, x>=0 e x+y <= z <= x+y+1. O conteúdo aqui é integração tripla em domínios deprismas sobre um semi-círculo e vamos usar a técnica de integrar primeiro em z e depois em (x,y), convertendo finalmente para coordenadas polares.

Passo 2

Para cada (x,y) em Dcolon (x,y)mid x^2+y^2<=4,,x>=0, integramos em z de x+y a x+y+1. Assim,
integralz=x+y^x+y+1 x,dz = xl[(x+y+1)-(x+y)r] = x cdot 1 = x
A integral tripla reduz-se então à integral dupla
integral duplaD x,dx,dy
no semi-círculo de raio 2 para x>=0. Para simplificar, usamos coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta e elemento de área dx,dy = r,dr,dtheta. Como x>=0, temos thetain[-tfracpi2,tfracpi2] e rin[0,2]. Logo,
integral duplaD x,dx,dy = integraltheta=-pi/2^pi/2integralr=0^2 (rcostheta),r,dr,dtheta = integral-pi/2^pi/2costheta,dtheta ;integral0^2r^2,dr

Passo 3

Calculamos separadamente:
integral0^2r^2,dr = l[tfracr^33r]0^2 = tfrac83,
integral-pi/2^pi/2costheta,dtheta = l[sinthetar]-pi/2^pi/2 = 1 - (-1) = 2
Multiplicando, obtemos
integral duplaD x,dx,dy = tfrac83 times 2 = tfrac163

Passo 4

Portanto, o valor da integral tripla é tfrac163.

Resposta

tfrac163

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