\int \frac{x-2}{(x-1)(x+1)(x-3)} d x

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (resumido, sem resolver ainda):
  • Dado: a integral indefinida \displaystyle \int \frac{x-2}{(x-1)(x+1)(x-3)}\,dx.
  • Observações úteis extraídas do enunciado:
    • O numerador é \,x-2.
    • O denominador é o produto de três fatores lineares distintos: (x-1), (x+1) e (x-3).
    • O grau do numerador ( 1) é menor que o grau do denominador ( 3), ou seja, trata-se de uma fração algébrica própria.
  • Pedido: calcular a primitiva (antiderivada) dessa função racional, ou seja encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x-2}{(x-1)(x+1)(x-3)}.

Passo 2

Estratégia escolhida e por quê (explicação didática):
  • Quando uma fração racional tem denominador que se fatora em fatores lineares distintos e o numerador tem grau menor, dá para escrever a fração como soma de frações simples do tipo constante sobre cada fator linear: \frac{x-2}{(x-1)(x+1)(x-3)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-3},onde A,B,C são constantes a serem determinadas.
  • Porque isso ajuda: cada termo \dfrac{1}{x-a} é fácil de integrar — sua primitiva é \ln|x-a| (pois \dfrac{d}{dx}\ln|x-a|=\dfrac{1}{x-a}).
  • Então o plano: (i) determinar A,B,C; (ii) escrever a integral como soma de integrais simples; (iii) integrar termo a termo.

Passo 3

Montar a identidade para achar A,B,C:
  • Multiplicando ambos os lados pela expressão (x-1)(x+1)(x-3) obtemos a identidade de polinômios x-2 = A(x+1)(x-3) + B(x-1)(x-3) + C(x-1)(x+1).
  • Essa igualdade vale para todo x. Podemos encontrar A,B,C escolhendo valores convenientes de x (método “cover-up”) ou comparando coeficientes.

Passo 4

Determinar A,B,C usando valores convenientes de x:
  • Escolha x=1: 1-2 = A(1+1)(1-3) + \underbrace{B(0)}_{=0} + \underbrace{C(0)}_{=0}
-1 = A\cdot 2\cdot(-2) = -4A \quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{4}.
  • Escolha x=-1: -1-2 = \underbrace{A(0)}_{=0} + B(-1-1)(-1-3) + \underbrace{C(0)}_{=0}
-3 = B\cdot(-2)\cdot(-4) = 8B \quad\Rightarrow\quad B=-\frac{3}{8}.
  • Escolha x=3: 3-2 = \underbrace{A(0)}_{=0} + \underbrace{B(0)}_{=0} + C(3-1)(3+1)
1 = C\cdot 2\cdot 4 = 8C \quad\Rightarrow\quad C=\frac{1}{8}.
  • Conclusão: A=\dfrac{1}{4}, B=-\dfrac{3}{8}, C=\dfrac{1}{8}.

Passo 5

Reescrever a integral usando os valores encontrados:
  • Substituindo na decomposição: \frac{x-2}{(x-1)(x+1)(x-3)}=\frac{1/4}{x-1}+\frac{-3/8}{x+1}+\frac{1/8}{x-3}.
  • Assim a integral fica \int \frac{x-2}{(x-1)(x+1)(x-3)}\,dx =\int \left(\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x-1}-\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{x+1}+\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{x-3}\right)dx.

Passo 6

Integrar termo a termo e interpretar cada passo:
  • Lembrete: para qualquer constante k e a real, vale \int \frac{k}{x-a}\,dx = k\int \frac{1}{x-a}\,dx = k\ln|x-a| + C,porque \dfrac{d}{dx}\ln|x-a|=\dfrac{1}{x-a}.
  • Aplicando isso a cada termo: \int \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x-1}\,dx = \frac{1}{4}\ln|x-1|,
\int -\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{x+1}\,dx = -\frac{3}{8}\ln|x+1|,
\int \frac{1}{8}\cdot\frac{1}{x-3}\,dx = \frac{1}{8}\ln|x-3|.
  • Somando as parcelas e incluindo a constante de integração C, obtemos a primitiva.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}\ln|x-1|-\frac{3}{8}\ln|x+1|+\frac{1}{8}\ln|x-3|+C

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