Passo 1
O que o enunciado dá e pede (resumido, sem resolver ainda):
- Dado: a integral indefinida
. - Observações úteis extraídas do enunciado:
- O numerador é
. - O denominador é o produto de três fatores lineares distintos:
, e . - O grau do numerador (
) é menor que o grau do denominador ( ), ou seja, trata-se de uma fração algébrica própria.
- O numerador é
- Pedido: calcular a primitiva (antiderivada) dessa função racional, ou seja encontrar uma função
tal que .
Passo 2
Estratégia escolhida e por quê (explicação didática):
- Quando uma fração racional tem denominador que se fatora em fatores lineares distintos e o numerador tem grau menor, dá para escrever a fração como soma de frações simples do tipo constante sobre cada fator linear:
onde são constantes a serem determinadas. - Porque isso ajuda: cada termo
é fácil de integrar — sua primitiva é (pois ). - Então o plano: (i) determinar
; (ii) escrever a integral como soma de integrais simples; (iii) integrar termo a termo.
Passo 3
Montar a identidade para achar
:
- Multiplicando ambos os lados pela expressão
obtemos a identidade de polinômios - Essa igualdade vale para todo
. Podemos encontrar escolhendo valores convenientes de (método “cover-up”) ou comparando coeficientes.
Passo 4
Determinar
usando valores convenientes de
:
- Escolha
:
- Escolha
:
- Escolha
:
- Conclusão:
, , .
Passo 5
Reescrever a integral usando os valores encontrados:
- Substituindo na decomposição:
- Assim a integral fica
Passo 6
Integrar termo a termo e interpretar cada passo:
- Lembrete: para qualquer constante
e real, vale porque . - Aplicando isso a cada termo:
- Somando as parcelas e incluindo a constante de integração
, obtemos a primitiva.