Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+25 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''-6y'+25y=0.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A equação é de segunda ordem; as incógnitas são a função y(x) e suas derivadas y'(x), y''(x).
  • Não foram dadas condições iniciais, então o que se pede é a solução geral (com constantes arbitrárias).
  • As constantes numéricas presentes são -6 e 25.

Passo 2

Vamos usar uma tentativa padrão para equações lineares com coeficientes constantes: procurar soluções da forma y=e^{rx}, onde r é um número (possivelmente complexo). Explico por quê: ao derivar y=e^{rx} temos derivadas proporcionais a e^{rx}, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica para r, chamada equação característica.
Cálculo das derivadas da tentativa:
y = e^{rx},\qquad y' = r e^{rx},\qquad y'' = r^{2} e^{rx}.
Substituindo na equação diferencial:
r^{2} e^{rx} -6 r e^{rx} +25 e^{rx} = 0.
Como e^{rx} nunca é zero, podemos dividir por e^{rx} e obter a equação característica:
r^{2}-6r+25=0.

Passo 3

Agora resolvemos a equação quadrática
r^{2}-6r+25=0.
Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Primeiro o discriminante:
\Delta = (-6)^{2}-4\cdot1\cdot25 = 36-100 = -64.
O discriminante é negativo, logo as raízes são complexas conjugadas. Aplicando a fórmula:
r = \frac{6 \pm \sqrt{-64}}{2} = \frac{6 \pm 8i}{2} = 3 \pm 4i.
Aqui 3 é a parte real e 4 é a parte imaginária positiva da raiz (ou seja, r= \alpha \pm i\beta com \alpha=3 e \beta=4).

Passo 4

Quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas \alpha \pm i\beta, as duas soluções reais linearmente independentes da equação diferencial são
y_{1}(x)=e^{\alpha x}\cos(\beta x),\qquad y_{2}(x)=e^{\alpha x}\sin(\beta x).
Explicando por que: e^{(\alpha+i\beta)x}=e^{\alpha x}(\cos(\beta x)+i\sin(\beta x)). As partes real e imaginária dessa função exponencial complexa são soluções reais da equação linear e são linearmente independentes, portanto geram a solução geral real.
Aplicando isso ao nosso caso com \alpha=3 e \beta=4, obtemos as duas soluções independentes
y_{1}(x)=e^{3x}\cos(4x),\qquad y_{2}(x)=e^{3x}\sin(4x).

Passo 5

A solução geral da equação diferencial é a combinação linear dessas soluções independentes com constantes arbitrárias C_{1} e C_{2}. Aqui C_{1} e C_{2} são constantes reais que serão determinadas se houver condições iniciais.
Portanto,
y(x)=e^{3x}\bigl(C_{1}\cos(4x)+C_{2}\sin(4x)\bigr),
onde C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.
(Dica curta para a prova: sempre escreva a equação característica, calcule o discriminante. Se for negativo, identifique \alpha e \beta e escreva e^{\alpha x}(C_{1}\cos\beta x + C_{2}\sin\beta x).)

Passo 6

Um exemplo rápido para fixar (não parte do enunciado): se a equação fosse y''-2y'+5y=0, a caracteristica seria r^{2}-2r+5=0 com raízes 1\pm2i, então a solução geral seria y=e^{x}(C_{1}\cos 2x + C_{2}\sin 2x). O procedimento é exatamente o mesmo que usamos aqui.

Resposta

y(x)=e^{3x}\bigl(C_{1}\cos(4x)+C_{2}\sin(4x)\bigr)

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