Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas e o que é pedido:
- A equação é de segunda ordem; as incógnitas são a função
e suas derivadas , . - Não foram dadas condições iniciais, então o que se pede é a solução geral (com constantes arbitrárias).
- As constantes numéricas presentes são
e .
Passo 2
Vamos usar uma tentativa padrão para equações lineares com coeficientes constantes: procurar soluções da forma
, onde
é um número (possivelmente complexo). Explico por quê: ao derivar
temos derivadas proporcionais a
, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica para
, chamada equação característica.
Cálculo das derivadas da tentativa:
Substituindo na equação diferencial:
Como
nunca é zero, podemos dividir por
e obter a equação característica:
Passo 3
Agora resolvemos a equação quadrática
Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Primeiro o discriminante:
O discriminante é negativo, logo as raízes são complexas conjugadas. Aplicando a fórmula:
Aqui
é a parte real e
é a parte imaginária positiva da raiz (ou seja,
com
e
).
Passo 4
Quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas
, as duas soluções reais linearmente independentes da equação diferencial são
Explicando por que:
. As partes real e imaginária dessa função exponencial complexa são soluções reais da equação linear e são linearmente independentes, portanto geram a solução geral real.
Aplicando isso ao nosso caso com
e
, obtemos as duas soluções independentes
Passo 5
A solução geral da equação diferencial é a combinação linear dessas soluções independentes com constantes arbitrárias
e
. Aqui
e
são constantes reais que serão determinadas se houver condições iniciais.
Portanto,
onde
.
(Dica curta para a prova: sempre escreva a equação característica, calcule o discriminante. Se for negativo, identifique
e
e escreva
.)
Passo 6
Um exemplo rápido para fixar (não parte do enunciado): se a equação fosse
, a caracteristica seria
com raízes
, então a solução geral seria
. O procedimento é exatamente o mesmo que usamos aqui.