Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial
Passo 1
O que o enunciado pede: resolver a equação diferencial
Informações dadas:
- É uma equação diferencial ordinária homogênea de ordem dois com coeficientes constantes.
- Não foram fornecidas condições iniciais, então a solução geral deve conter duas constantes arbitrárias.
Passo 2
Escolha do método (e por que): para equações lineares homogêneas de ordem dois com coeficientes constantes a técnica padrão e mais direta é buscar soluções da forma
, onde
é um número (possivelmente complexo). Essa escolha transforma a equação diferencial num polinômio em
(chamado polinômio característico). Vou aplicar essa técnica porque é a mais simples e exige apenas álgebra básica.
Passo 3
Formar o polinômio característico: supondo
temos
e
. Substituindo na equação,
Como
para todo
, divide-se por
e obtém-se o polinômio característico
Passo 4
Resolver a equação quadrática: calcule o discriminante
Como
, as raízes são complexas conjugadas. Aplicando a fórmula de Bhaskara,
Passo 5
Interpretação das raízes complexas: para raízes do tipo
(com
e
) a forma real geral da solução é
onde
são constantes reais arbitrárias. Essa fórmula vem da identidade de Euler:
; as partes real e imaginária dessa função complexa são soluções reais independentes.
Passo 6
Aplicando ao caso
e
(porque as raízes são
), obtemos a solução geral
com
.
Passo 7
Verificação rápida (substituição direta): para ter certeza, calcula-se
e substitui-se na equação. Tomando
com
constantes, encontra-se
Substituindo em
e somando os coeficientes de
e
obtém-se zero identicamente, confirmando que a expressão acima satisfaz a equação diferencial para quaisquer constantes
. Logo a solução geral está correta.