Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+5 y=0

Passo 1

O que o enunciado pede: resolver a equação diferencial
y''-4y'+5y=0.
Informações dadas:
  • É uma equação diferencial ordinária homogênea de ordem dois com coeficientes constantes.
  • Não foram fornecidas condições iniciais, então a solução geral deve conter duas constantes arbitrárias.

Passo 2

Escolha do método (e por que): para equações lineares homogêneas de ordem dois com coeficientes constantes a técnica padrão e mais direta é buscar soluções da forma \,y=e^{rx}\,, onde r é um número (possivelmente complexo). Essa escolha transforma a equação diferencial num polinômio em r (chamado polinômio característico). Vou aplicar essa técnica porque é a mais simples e exige apenas álgebra básica.

Passo 3

Formar o polinômio característico: supondo y=e^{rx} temos y'=r e^{rx} e y''=r^{2}e^{rx}. Substituindo na equação,
r^{2}e^{rx}-4r e^{rx}+5 e^{rx}=0.
Como e^{rx}\neq0 para todo x, divide-se por e^{rx} e obtém-se o polinômio característico
r^{2}-4r+5=0.

Passo 4

Resolver a equação quadrática: calcule o discriminante
\Delta = (-4)^{2}-4\cdot1\cdot5=16-20=-4.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas. Aplicando a fórmula de Bhaskara,
r=\frac{4\pm\sqrt{-4}}{2}=\frac{4\pm 2i}{2}=2\pm i.

Passo 5

Interpretação das raízes complexas: para raízes do tipo \alpha\pm i\beta (com \alpha,\beta\in\mathbb{R} e \beta\neq0) a forma real geral da solução é
y(x)=e^{\alpha x}\bigl(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\bigr),
onde C_{1},C_{2} são constantes reais arbitrárias. Essa fórmula vem da identidade de Euler: e^{(\alpha+i\beta)x}=e^{\alpha x}(\cos(\beta x)+i\sin(\beta x)); as partes real e imaginária dessa função complexa são soluções reais independentes.

Passo 6

Aplicando ao caso \alpha=2 e \beta=1 (porque as raízes são 2\pm i), obtemos a solução geral
y(x)=e^{2x}\bigl(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\bigr),
com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.

Passo 7

Verificação rápida (substituição direta): para ter certeza, calcula-se y',y'' e substitui-se na equação. Tomando y=e^{2x}(A\cos x+B\sin x) com A,B constantes, encontra-se
y'=e^{2x}\bigl((2A+B)\cos x+(2B-A)\sin x\bigr),
y''=e^{2x}\bigl((3A+4B)\cos x+(-4A+3B)\sin x\bigr).
Substituindo em y''-4y'+5y e somando os coeficientes de \cos x e \sin x obtém-se zero identicamente, confirmando que a expressão acima satisfaz a equação diferencial para quaisquer constantes A,B. Logo a solução geral está correta.

Resposta

y(x)=e^{2x}\bigl(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\bigr)

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