Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial y^{\prime \prime}+4 y=0
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' + 4y = 0.
Informações relevantes fornecidas:
É uma equação diferencial de segunda ordem (aparece y'').
É homogênea (lado direito igual a zero).
Os coeficientes são constantes (o coeficiente de y é 4, um número fixo).
O objetivo é encontrar a solução geral y(x) que satisfaça essa equação (ou seja, todas as soluções possíveis, com constantes arbitrárias).
Passo 2
Idéia de método (sem detalhes técnicos demais por enquanto): para equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes costuma-se tentar uma solução da forma exponencial
y(x)=e^{r x},
porque derivando essa expressão o tipo de função se mantém (a derivada de e^{r x} é novamente um múltiplo de e^{r x}). Isso transforma a equação diferencial numa equação algébrica para r, chamada equação característica, que é muito mais fácil de resolver.
Passo 3
Aplicando a tentativa y(x)=e^{r x} e calculando as derivadas:
y'(x)=r e^{r x},\qquad y''(x)=r^{2} e^{r x}.
Substituindo na equação original \,y''+4y=0:
r^{2} e^{r x} + 4 e^{r x} = 0.
Como e^{r x} nunca é zero, podemos dividir por e^{r x} e obter a equação característica
Aqui surgiram raízes complexas conjugadas r_{1}=2i e r_{2}=-2i.
Passo 5
Quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas da forma \alpha \pm i\beta, a forma geral (real) das soluções é dada por combinações lineares de e^{\alpha x}\cos(\beta x) e e^{\alpha x}\sin(\beta x). Isso decorre da fórmula de Euler
e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta,
e do fato de que as partes real e imaginária de e^{(\alpha+i\beta)x} são soluções reais independentes.
No nosso caso temos \alpha=0 e \beta=2, porque r=\pm 2i = 0 \pm 2i. Portanto as soluções reais básicas são \cos(2x) e \sin(2x).
Passo 6
Logo, a solução geral (com duas constantes arbitrárias que aparecem por ser uma equação de segunda ordem) é
y(x)=C_{1}\cos(2x) + C_{2}\sin(2x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias.
Passo 7
Para ficar mais seguro, faço uma verificação direta: tomo
Portanto y'' + 4y = -4y + 4y = 0, ou seja, a função satisfaz a equação. Confere.
Passo 8
Comentário sobre independência linear (por que precisamos de duas constantes): as funções \cos(2x) e \sin(2x) são linearmente independentes (por exemplo, seu Wronskiano é diferente de zero):
Como o Wronskiano é não nulo, elas formam uma base do espaço de soluções e a solução geral envolve duas constantes arbitrárias C_{1} e C_{2}.]
Passo 9
Resumo prático para a prova (receita rápida):
Escreva a equação característica: \,r^{2}+4=0.
Resolva: r=\pm 2i.
Como as raízes são 0\pm 2i, escreva a solução real geral: y=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x).
Isso funciona sempre que aparecer y'' + \omega^{2} y = 0: a solução será y=C_{1}\cos(\omega x)+C_{2}\sin(\omega x).