Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial
y^{\prime \prime}+4 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' + 4y = 0.
Informações relevantes fornecidas:
  • É uma equação diferencial de segunda ordem (aparece y'').
  • É homogênea (lado direito igual a zero).
  • Os coeficientes são constantes (o coeficiente de y é 4, um número fixo).
    O objetivo é encontrar a solução geral y(x) que satisfaça essa equação (ou seja, todas as soluções possíveis, com constantes arbitrárias).

Passo 2

Idéia de método (sem detalhes técnicos demais por enquanto): para equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes costuma-se tentar uma solução da forma exponencial
y(x)=e^{r x},
porque derivando essa expressão o tipo de função se mantém (a derivada de e^{r x} é novamente um múltiplo de e^{r x}). Isso transforma a equação diferencial numa equação algébrica para r, chamada equação característica, que é muito mais fácil de resolver.

Passo 3

Aplicando a tentativa y(x)=e^{r x} e calculando as derivadas:
y'(x)=r e^{r x},\qquad y''(x)=r^{2} e^{r x}.
Substituindo na equação original \,y''+4y=0:
r^{2} e^{r x} + 4 e^{r x} = 0.
Como e^{r x} nunca é zero, podemos dividir por e^{r x} e obter a equação característica
r^{2} + 4 = 0.

Passo 4

Resolver a equação característica:
r^{2} + 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r^{2} = -4 \quad\Longrightarrow\quad r = \pm 2i.
Aqui surgiram raízes complexas conjugadas r_{1}=2i e r_{2}=-2i.

Passo 5

Quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas da forma \alpha \pm i\beta, a forma geral (real) das soluções é dada por combinações lineares de e^{\alpha x}\cos(\beta x) e e^{\alpha x}\sin(\beta x). Isso decorre da fórmula de Euler
e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta,
e do fato de que as partes real e imaginária de e^{(\alpha+i\beta)x} são soluções reais independentes.
No nosso caso temos \alpha=0 e \beta=2, porque r=\pm 2i = 0 \pm 2i. Portanto as soluções reais básicas são \cos(2x) e \sin(2x).

Passo 6

Logo, a solução geral (com duas constantes arbitrárias que aparecem por ser uma equação de segunda ordem) é
y(x)=C_{1}\cos(2x) + C_{2}\sin(2x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias.

Passo 7

Para ficar mais seguro, faço uma verificação direta: tomo
y(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x).
As derivadas são
y'(x) = -2C_{1}\sin(2x) + 2C_{2}\cos(2x),
y''(x) = -4C_{1}\cos(2x) -4C_{2}\sin(2x) = -4\bigl(C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)\bigr) = -4y(x).
Portanto y'' + 4y = -4y + 4y = 0, ou seja, a função satisfaz a equação. Confere.

Passo 8

Comentário sobre independência linear (por que precisamos de duas constantes): as funções \cos(2x) e \sin(2x) são linearmente independentes (por exemplo, seu Wronskiano é diferente de zero):
W(\cos(2x),\sin(2x)) = \begin{vmatrix} \cos(2x) & \sin(2x)\\[4pt] -2\sin(2x) & 2\cos(2x) \end{vmatrix} = 2\cos^{2}(2x)+2\sin^{2}(2x)=2\neq 0.
Como o Wronskiano é não nulo, elas formam uma base do espaço de soluções e a solução geral envolve duas constantes arbitrárias C_{1} e C_{2}.]

Passo 9

Resumo prático para a prova (receita rápida):
  • Escreva a equação característica: \,r^{2}+4=0.
  • Resolva: r=\pm 2i.
  • Como as raízes são 0\pm 2i, escreva a solução real geral: y=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x).
    Isso funciona sempre que aparecer y'' + \omega^{2} y = 0: a solução será y=C_{1}\cos(\omega x)+C_{2}\sin(\omega x).

Resposta

y(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)

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