Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial
y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+9 y=0

Passo 1

O que o enunciado pede: resolver a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 6y' + 9y = 0.
Informações dadas:
  • A equação diferencial é linear, homogênea e tem coeficientes constantes.
  • Não foram dadas condições iniciais; portanto o objetivo é encontrar a solução geral y(x), com constantes arbitrárias.

Passo 2

Ideia básica do método (tentativa simples que sempre funciona aqui): procurar soluções do tipo exponencial \;y=e^{rx}\;, onde r é um número (possivelmente complexo) a determinar.
Justificativa rápida: exponenciais transformam derivadas em multiplicação por constantes, o que simplifica equações com coeficientes constantes.
Passando a conta: se y=e^{rx} então
y' = r e^{rx},\qquad y''=r^2 e^{rx}.
Substituindo na equação dada:
r^2 e^{rx} + 6 r e^{rx} + 9 e^{rx} = 0.
Como e^{rx}\neq 0 para todo x, pode-se dividir por e^{rx} e obter a equação característica (uma equação algébrica):
r^2 + 6r + 9 = 0.

Passo 3

Resolver a equação característica \;r^2 + 6r + 9 = 0\;.
Calcule o discriminante:
\Delta = 6^2 - 4\cdot1\cdot9 = 36 - 36 = 0.
Como \Delta=0, a equação tem uma raiz dupla. Podemos fatorar:
r^2 + 6r + 9 = (r+3)^2.
Logo a raiz é
r = -3,
com multiplicidade 2.

Passo 4

Formas gerais de solução conforme os tipos de raízes (resumo didático):
  • Se a equação característica tem duas raízes reais distintas r_1 e r_2, a solução geral é \;y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}\;.
  • Se a equação característica tem uma raiz real dupla r (como aqui), a solução geral é
y = \bigl(C_1 + C_2 x\bigr) e^{r x},
onde C_1 e C_2 são constantes reais arbitrárias.
Breve explicação do porquê do fator x: quando há multiplicidade 2, a segunda solução independente não é simplesmente e^{rx} (já dá a primeira), mas pode ser obtida por redução de ordem e resulta em x e^{rx}; isso garante independência linear entre as duas soluções.

Passo 5

Aplicando o caso da raiz dupla r=-3: as duas soluções independentes são
y_1 = e^{-3x},\qquad y_2 = x e^{-3x}.
Vou verificar rapidamente que y_2 também satisfaz a equação (verificação direta — passo a passo de contas):
Calcule derivadas de \;y_2 = x e^{-3x}:
y_2' = (1 - 3x)e^{-3x},
y_2'' = (9x - 6)e^{-3x}.
Agora substituindo em \;y'' + 6y' + 9y\;:
y_2'' + 6y_2' + 9y_2 = (9x-6)e^{-3x} + 6(1-3x)e^{-3x} + 9x e^{-3x}.
Fatorando e^{-3x}:
e^{-3x}\bigl(9x-6 + 6 -18x + 9x\bigr) = e^{-3x}\bigl(9x-18x+9x -6+6\bigr) = e^{-3x}\cdot 0 = 0.
Portanto y_2 satisfaz a equação; combinado com y_1 fornece a base de soluções.

Passo 6

Concluir a solução geral: como as soluções independentes são y_1=e^{-3x} e y_2= x e^{-3x}, a combinação linear geral é
y(x) = \bigl(C_1 + C_2 x\bigr) e^{-3x},
onde C_1 e C_2 são constantes reais arbitrárias (essas constantes serão determinadas apenas se houver condições iniciais).

Passo 7

Dica prática para a prova (resumo curtinho e amigável): ao ver \;y''+6y'+9y=0\;, escreva a característica \;r^2+6r+9=0, note que é (r+3)^2=0 — raiz dupla -3 — e já memorize a forma da solução \;(C_1 + C_2 x)e^{-3x}. Respira fundo: é direto quando se pega o padrão!

Resposta

y(x)=\bigl(C_1 + C_2 x\bigr)e^{-3x}

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