Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial
Passo 1
O que o enunciado pede: resolver a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
Informações dadas:
- A equação diferencial é linear, homogênea e tem coeficientes constantes.
- Não foram dadas condições iniciais; portanto o objetivo é encontrar a solução geral
, com constantes arbitrárias.
Passo 2
Ideia básica do método (tentativa simples que sempre funciona aqui): procurar soluções do tipo exponencial
, onde
é um número (possivelmente complexo) a determinar.
Justificativa rápida: exponenciais transformam derivadas em multiplicação por constantes, o que simplifica equações com coeficientes constantes.
Justificativa rápida: exponenciais transformam derivadas em multiplicação por constantes, o que simplifica equações com coeficientes constantes.
Passando a conta: se
então
Substituindo na equação dada:
Como
para todo
, pode-se dividir por
e obter a equação característica (uma equação algébrica):
Passo 3
Resolver a equação característica
.
Calcule o discriminante:
Como
, a equação tem uma raiz dupla. Podemos fatorar:
Logo a raiz é
com multiplicidade
.
Passo 4
Formas gerais de solução conforme os tipos de raízes (resumo didático):
- Se a equação característica tem duas raízes reais distintas
e , a solução geral é . - Se a equação característica tem uma raiz real dupla
(como aqui), a solução geral é
onde
e
são constantes reais arbitrárias.
Breve explicação do porquê do fator : quando há multiplicidade
, a segunda solução independente não é simplesmente
(já dá a primeira), mas pode ser obtida por redução de ordem e resulta em
; isso garante independência linear entre as duas soluções.
Breve explicação do porquê do fator
Passo 5
Aplicando o caso da raiz dupla
: as duas soluções independentes são
Vou verificar rapidamente que
também satisfaz a equação (verificação direta — passo a passo de contas):
Calcule derivadas de
:
Agora substituindo em
:
Fatorando
:
Portanto
satisfaz a equação; combinado com
fornece a base de soluções.
Passo 6
Concluir a solução geral: como as soluções independentes são
e
, a combinação linear geral é
onde
e
são constantes reais arbitrárias (essas constantes serão determinadas apenas se houver condições iniciais).
Passo 7
Dica prática para a prova (resumo curtinho e amigável): ao ver
, escreva a característica
, note que é
— raiz dupla
— e já memorize a forma da solução
. Respira fundo: é direto quando se pega o padrão!