Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária de segunda ordem
e pede para “resolver” essa equação, ou seja, determinar a solução geral
(com constantes arbitrárias) que satisfaz essa relação para todo
. Não foram fornecidas condições iniciais, então o objetivo é obter a solução geral com constantes livres.
Passo 2
Escolher um método prático: para equações lineares de coeficientes constantes como esta, um método padrão (rápido e muito útil na prova) é tentar soluções do tipo exponencial
onde
é um número (possivelmente complexo) a determinar. Essa escolha funciona porque derivadas de exponenciais apenas trazem fatores
.
Passo 3
Substituir
na equação
.\ \ As derivadas são
e
. Substituindo:
Como
nunca é zero, divide-se por
e obtém-se a equação característica
Passo 4
Resolver a equação característica
. Subtraindo 25 e extraindo raiz quadrada:
ou seja, as raízes são complexas conjugadas
e
.
Passo 5
Quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas
(aqui
e
), a solução real geral da EDO é dada por
onde
são constantes reais. Isso vem do uso da fórmula de Euler
que permite escrever as exponenciais complexas
como combinações de
e
. No nosso caso
, logo
e obtemos imediatamente
Passo 6
Explicando de forma bem direta por que
e
surgem: das raízes
obtemos as soluções complexas
e
. Pelas identidades de Euler,
As partes real e imaginária dessas exponenciais são soluções reais independentes da EDO, e a combinação linear delas dá a solução geral real acima.
Passo 7
Verificação direta (útil para prova): tomar
Calcular primeira e segunda derivadas:
Substituindo na equação original:
confirmando que a expressão é solução.
Passo 8
Observação prática para a prova (como achar constantes com condições iniciais): se forem dadas condições
e
, basta avaliar em
:
Logo
e
. Isso mostra a praticidade da forma em seno e cosseno em provas.
Passo 9
Resumo curto e incentivo: o caminho padrão é sempre montar a equação característica, resolver para
e, se as raízes forem puramente imaginárias
, escrever a solução como combinação de
e
. Você já tem a fórmula pronta para usar rapidamente em prova — respira fundo que dá tempo!