Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial
y^{\prime \prime}+25 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária de segunda ordem
y''+25y=0
e pede para “resolver” essa equação, ou seja, determinar a solução geral y(x) (com constantes arbitrárias) que satisfaz essa relação para todo x. Não foram fornecidas condições iniciais, então o objetivo é obter a solução geral com constantes livres.

Passo 2

Escolher um método prático: para equações lineares de coeficientes constantes como esta, um método padrão (rápido e muito útil na prova) é tentar soluções do tipo exponencial
y(x)=e^{r x},
onde r é um número (possivelmente complexo) a determinar. Essa escolha funciona porque derivadas de exponenciais apenas trazem fatores r.

Passo 3

Substituir y(x)=e^{r x} na equação \,y''+25y=0.\ \ As derivadas são y' = r e^{r x} e y'' = r^{2} e^{r x}. Substituindo:
r^{2} e^{r x} + 25 e^{r x} = 0.
Como e^{r x} nunca é zero, divide-se por e^{r x} e obtém-se a equação característica
r^{2}+25=0.

Passo 4

Resolver a equação característica \,r^{2}+25=0. Subtraindo 25 e extraindo raiz quadrada:
r^{2}=-25 \quad\Rightarrow\quad r=\pm \sqrt{-25}=\pm 5\,i,
ou seja, as raízes são complexas conjugadas r_{1}=5i e r_{2}=-5i.

Passo 5

Quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas \alpha\pm i\beta (aqui \alpha=0 e \beta=5), a solução real geral da EDO é dada por
y(x)=e^{\alpha x}\big(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\big),
onde C_{1},C_{2} são constantes reais. Isso vem do uso da fórmula de Euler
e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta,
que permite escrever as exponenciais complexas e^{(\alpha\pm i\beta)x} como combinações de \cos(\beta x) e \sin(\beta x). No nosso caso \alpha=0, logo e^{\alpha x}=1 e obtemos imediatamente
y(x)=C_{1}\cos(5x)+C_{2}\sin(5x).

Passo 6

Explicando de forma bem direta por que \cos(5x) e \sin(5x) surgem: das raízes r=\pm5i obtemos as soluções complexas e^{5ix} e e^{-5ix}. Pelas identidades de Euler,
e^{5ix}=\cos(5x)+i\sin(5x),\qquad e^{-5ix}=\cos(5x)-i\sin(5x).
As partes real e imaginária dessas exponenciais são soluções reais independentes da EDO, e a combinação linear delas dá a solução geral real acima.

Passo 7

Verificação direta (útil para prova): tomar
y(x)=C_{1}\cos(5x)+C_{2}\sin(5x).
Calcular primeira e segunda derivadas:
y'(x)=-5C_{1}\sin(5x)+5C_{2}\cos(5x),
y''(x)=-25C_{1}\cos(5x)-25C_{2}\sin(5x)=-25y(x).
Substituindo na equação original:
y''+25y = -25y +25y = 0,
confirmando que a expressão é solução.

Passo 8

Observação prática para a prova (como achar constantes com condições iniciais): se forem dadas condições y(0)=y_{0} e y'(0)=v_{0}, basta avaliar em x=0:
y(0)=C_{1}\cos 0 + C_{2}\sin 0 = C_{1},
y'(0)=-5C_{1}\sin 0 + 5C_{2}\cos 0 = 5C_{2}.
Logo C_{1}=y_{0} e C_{2}=v_{0}/5. Isso mostra a praticidade da forma em seno e cosseno em provas.

Passo 9

Resumo curto e incentivo: o caminho padrão é sempre montar a equação característica, resolver para r e, se as raízes forem puramente imaginárias \pm i\beta, escrever a solução como combinação de \cos(\beta x) e \sin(\beta x). Você já tem a fórmula pronta para usar rapidamente em prova — respira fundo que dá tempo!

Resposta

y(x)=C_{1}\cos(5x)+C_{2}\sin(5x)

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