Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas:
- A equação é homogênea e de segunda ordem com coeficientes constantes.
- Não foram dados valores iniciais; portanto a solução procurada é a solução geral, com constantes arbitrárias.
Passo 2
Vamos tentar uma solução do tipo exponencial. Esta é uma técnica padrão quando a equação tem coeficientes constantes: supõe-se uma solução da forma
onde
é um número a determinar. Agora calcule as derivadas dessa função:
Substituindo na equação
obtemos
Como
nunca é zero, podemos dividir por
e ficar com a equação característica:
Passo 3
Resolve-se a equação característica:
Obtivemos duas raízes reais distintas
e
.
Passo 4
Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas
e
, a solução geral da equação diferencial homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias (que seriam determinadas se houvesse condições iniciais). Aplicando as raízes encontradas:
Passo 5
Duas observações úteis para a prova:
- Alternativamente a solução pode ser escrita em termos de funções hiperbólicas:
onde as constantes se relacionam com
por
- Se aparecerem condições iniciais
e , resolve-se o sistema
de onde