Em cada um dos problemas, resolva a equação diferencial
y^{\prime \prime}-5 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''-5y=0.
Informações dadas:
  • A equação é homogênea e de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • Não foram dados valores iniciais; portanto a solução procurada é a solução geral, com constantes arbitrárias.

Passo 2

Vamos tentar uma solução do tipo exponencial. Esta é uma técnica padrão quando a equação tem coeficientes constantes: supõe-se uma solução da forma
y=e^{r x},
onde r é um número a determinar. Agora calcule as derivadas dessa função:
y' = r e^{r x},\qquad y'' = r^{2} e^{r x}.
Substituindo na equação y''-5y=0 obtemos
r^{2} e^{r x} - 5 e^{r x} = 0.
Como e^{r x} nunca é zero, podemos dividir por e^{r x} e ficar com a equação característica:
r^{2}-5=0.

Passo 3

Resolve-se a equação característica:
r^{2}-5=0\quad\Rightarrow\quad r^{2}=5\quad\Rightarrow\quad r=\pm\sqrt{5}.
Obtivemos duas raízes reais distintas r_{1}=\sqrt{5} e r_{2}=-\sqrt{5}.

Passo 4

Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas r_{1} e r_{2}, a solução geral da equação diferencial homogênea é
y=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (que seriam determinadas se houvesse condições iniciais). Aplicando as raízes encontradas:
y=C_{1}e^{\sqrt{5}\,x}+C_{2}e^{-\sqrt{5}\,x}.

Passo 5

Duas observações úteis para a prova:
  • Alternativamente a solução pode ser escrita em termos de funções hiperbólicas:
y = A\operatorname{cosh}\bigl(\sqrt{5}\,x\bigr) + B\operatorname{sinh}\bigl(\sqrt{5}\,x\bigr),
onde as constantes se relacionam com C_{1},C_{2} por
A = C_{1}+C_{2},\qquad B = C_{1}-C_{2}.
  • Se aparecerem condições iniciais y(0)=y_{0} e y'(0)=y_{1}, resolve-se o sistema
y(0)=C_{1}+C_{2}=y_{0},\qquad y'(0)=\sqrt{5}\,(C_{1}-C_{2})=y_{1},
de onde
C_{1}=\frac{y_{0}+y_{1}/\sqrt{5}}{2},\qquad C_{2}=\frac{y_{0}-y_{1}/\sqrt{5}}{2}.

Resposta

y=C_{1}e^{\sqrt{5}\,x}+C_{2}e^{-\sqrt{5}\,x}

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