Em determinado país, o imposto de renda é igual a 10 \% da renda, para rendas até R \ 900,00 . Para rendas acima deR $900,00 , o imposto de renda é igual aéR $ 90,00(10 % deR $900,00) mais20 % da parte da renda que excedeR $ 900,00 . a) Qual o imposto de renda para uma renda de \(R \\) 600,00 ?
b) Qual o imposto de renda para uma renda de R \ 1200,00$ ?
c) Chamando de x a renda e de y o imposto de renda, obtenha a expressão de y em função de x.

Passo 1

O enunciado nos dá a regra do imposto e pede três coisas. Informações fornecidas:
  • Para rendas até R\$\,900{,}00, o imposto é de 10\% da renda.
  • Para rendas acima de R\$\,900{,}00, o imposto é R\$\,90{,}00 (que é 10\% de R\$\,900{,}00) mais 20\% da parte da renda que excede R\$\,900{,}00.
O enunciado pede:
(a) calcular o imposto para renda de R\$\,600{,}00;
(b) calcular o imposto para renda de R\$\,1200{,}00;
(c) obter a expressão de y (imposto) em função de x (renda).

Passo 2

Entendendo a regra e como trabalhar com porcentagens (pequena aula prática).
  • Converter porcentagem em número decimal: para calcular p\% de um valor, usa-se a multiplicação por p/100. Por exemplo, 10\% = 0,10 e 20\% = 0,20.
  • Assim, quando o imposto é 10\% da renda x, escreve-se y = 0,10x. Isso é direto: multiplicar a renda por 0,10.
    Essa regra vale quando x \le 900. Não aplicamos nada além disso ainda.

Passo 3

Calcular o item (a): renda x = R\$\,600{,}00.
Como 600 \le 900, aplica-se y = 0,10x. Então:
y = 0,10\cdot 600 = 60.
Portanto o imposto é R\$\,60{,}00.

Passo 4

Calcular o item (b): renda x = R\$\,1200{,}00.
Aqui 1200 > 900, então usamos a regra: imposto igual a R\$\,90{,}00 mais 20\% da parte que excede R\$\,900{,}00. Primeiro calculo o excedente:
\text{excedente} = 1200 - 900 = 300.
Agora 20\% do excedente é 0,20\cdot 300 = 60. Somando o R\$\,90{,}00 fixo:
y = 90 + 60 = 150.
Portanto o imposto é R\$\,150{,}00.

Passo 5

Obter a expressão geral y em função de x (item c). Montando o caso a caso (função definida por partes):
  • Se x \le 900, o imposto é 10\% de x, logo
y = 0,10x.
  • Se x > 900, o imposto é R\$\,90{,}00 mais 20\% do excedente (x-900), logo
y = 90 + 0,20(x-900).
Podemos simplificar essa segunda expressão: desenvolver o parêntese
y = 90 + 0,20x - 0,20\cdot 900 = 90 + 0,20x - 180 = 0,20x - 90.
Assim uma forma mais compacta para x>900 é y = 0,20x - 90.

Passo 6

Verificação de consistência (checar continuidade em x=900).
Calcular o imposto nas duas fórmulas em x=900:
0,10\cdot 900 = 90, \qquad 0,20\cdot 900 - 90 = 180 - 90 = 90.
As duas fórmulas coincidem em x=900, então a função está contínua nesse ponto (sem salto). Bom sinal: a regra foi formulada de forma consistente.

Resposta

(a) R\$\,60{,}00
(b) R\$\,150{,}00
(c) y(x)=\begin{cases} 0,10x, & \text{se } x \le 900,\\[4pt] 0,20x - 90, & \text{se } x > 900. \end{cases}]

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