f(x)= \begin{cases}|x-2|, & x \geq 0 \\\ x+2, & x<0\end{cases}
(a) \int_{-2}^{0} f(x) d x
(b) \int_{-2}^{2} f(x) d x

Passo 1

O enunciado fornece a função definida por partes
f(x)= \begin{cases}|x-2|, & x \geq 0 \\\ x+2, & x<0\end{cases}
e pede duas integrais definidas:
(a) \displaystyle \int_{-2}^{0} f(x)\,dx
(b) \displaystyle \int_{-2}^{2} f(x)\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
  • Para x<0, a função vale f(x)=x+2.
  • Para x\ge 0, a função vale f(x)=|x-2|.
  • Os intervalos de integração são [-2,0] e [-2,2].

Passo 2

Entendendo o que é preciso fazer e como tratar a função por partes.
  1. O valor absoluto: explicar em palavras e em fórmula. Para todo número real t\), \[|t|=\begin{cases} -t, & t<0,\\\ t, & t\ge0.\end{cases}
Aplicando com (t=x-2] obtemos a forma equivalente
|x-2|=\begin{cases} 2-x, & x<2,\\\ x-2, & x\ge 2.\end{cases}
  1. Por isso a definição de f\) pode ser vista como: \[f(x)=\begin{cases} x+2, & x<0,\\[4pt] 2-x, & 0\le x<2,\\[4pt] x-2, & x\ge 2. \end{cases}
(Isto resulta de combinar as duas peças originais: para x\ge0\] usar \(|x-2| e, dentro disso, separar x<2 e x\ge2.)
  1. Sobre integrais definidas: a integral \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx representa, geometricamente, a área algébrica sob a curva y=f(x) entre x=a e x=b. Para calcular, usa-se o Teorema Fundamental do Cálculo: se F é uma primitiva de f (ou seja, F'(x)=f(x)), então
\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).
  1. Como f é dada por partes, para calcular integrais sobre intervalos que cruzam pontos onde a definição muda (aqui x=0 e x=2) devemos dividir a integral nesses pontos e somar as integrais em cada subintervalo onde f tem expressão única. Ou seja, por exemplo
\int_{-2}^{2} f(x)\,dx = \int_{-2}^{0} f(x)\,dx + \int_{0}^{2} f(x)\,dx,
desde que cada parte use a expressão de f válida naquele subintervalo.]

Passo 3

Calcular a integral (a) \displaystyle \int_{-2}^{0} f(x)\,dx.
  1. No intervalo [-2,0] a função está na ramificação f(x)=x+2 porque todo x ali é <0. Então
\int_{-2}^{0} f(x)\,dx = \int_{-2}^{0} (x+2)\,dx.
  1. Encontrar primitiva de x+2. Lembrando as primitivas básicas:
  • \displaystyle \int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C,
  • \displaystyle \int 2\,dx = 2x + C.
    Logo uma primitiva de x+2 é
F(x)=\frac{x^2}{2}+2x.
  1. Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{-2}^{0} (x+2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2}+2x\right]_{x=-2}^{x=0}.
  1. Avaliar nos extremos:
  • Em x=0: \dfrac{0^2}{2}+2\cdot0 = 0.
  • Em x=-2: \dfrac{(-2)^2}{2}+2(-2)=\dfrac{4}{2}-4=2-4=-2.
  1. Subtraindo:
\int_{-2}^{0} (x+2)\,dx = 0 - (-2) = 2.
Portanto a integral (a) vale 2.

Passo 4

Preparar o cálculo da integral (b) \displaystyle \int_{-2}^{2} f(x)\,dx.
  1. Como explicado, dividir o intervalo em pedaços onde f tem expressão única. Os pontos de trocas são x=0 (troca entre x+2 e |x-2|) e x=2 (troca dentro de |x-2|). Mas o intervalo [-2,2] termina em 2, então precisamos de duas subintegralidades:
\int_{-2}^{2} f(x)\,dx = \int_{-2}^{0} f(x)\,dx + \int_{0}^{2} f(x)\,dx.
Já calculamos a primeira parte: \displaystyle \int_{-2}^{0} f(x)\,dx = 2.
  1. No intervalo [0,2] usar a expressão para |x-2| quando 0\le x<2, isto é f(x)=2-x. Assim
\int_{0}^{2} f(x)\,dx = \int_{0}^{2} (2-x)\,dx.

Passo 5

Calcular \displaystyle \int_{0}^{2} (2-x)\,dx.
  1. Ache uma primitiva de 2-x. As primitivas conhecidas:
  • \displaystyle \int 2\,dx = 2x,
  • \displaystyle \int -x\,dx = -\frac{x^2}{2}.
    Então uma primitiva é
G(x)=2x-\frac{x^2}{2}.
  1. Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{0}^{2} (2-x)\,dx = \left[2x-\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{2}.
  1. Avaliar nos extremos:
  • Em x=2: 2\cdot2 - \dfrac{2^2}{2} = 4 - \dfrac{4}{2} = 4 - 2 = 2.
  • Em x=0: 2\cdot0 - \dfrac{0^2}{2} = 0.
  1. Subtraindo:
\int_{0}^{2} (2-x)\,dx = 2 - 0 = 2.

Passo 6

Somar as partes para obter a integral total (b).
Já temos:
\int_{-2}^{0} f(x)\,dx = 2, \qquad \int_{0}^{2} f(x)\,dx = 2.
Portanto
\int_{-2}^{2} f(x)\,dx = 2 + 2 = 4.

Passo 7

Resumo didático rápido (como lembrar na hora da prova):
  • Sempre identifique os pontos onde a função muda de expressão (aqui x=0 e x=2). Divida a integral nesses pontos.
  • Para cada pedaço, escreva a expressão correta de f, ache a primitiva padrão (potências: \int x^n dx = x^{n+1}/(n+1), constantes: \int c\,dx = c x), e avalie.
  • Soma as contribuições de cada subintervalo.
  • Pontos isolados (valores em um único ponto) não alteram integrais.

Resposta

(a) 2
(b) 4

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