(a)
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado fornece a função definida por partes
e pede duas integrais definidas:
(a)
(b) .
(a)
(b)
Informações relevantes fornecidas:
- Para
, a função vale . - Para
, a função vale . - Os intervalos de integração são
e .
Passo 2
Entendendo o que é preciso fazer e como tratar a função por partes.
- O valor absoluto: explicar em palavras e em fórmula. Para todo número real
Aplicando com (t=x-2] obtemos a forma equivalente
- Por isso a definição de
(Isto resulta de combinar as duas peças originais: para
e, dentro disso, separar
e
.)
- Sobre integrais definidas: a integral
representa, geometricamente, a área algébrica sob a curva entre e . Para calcular, usa-se o Teorema Fundamental do Cálculo: se é uma primitiva de (ou seja, ), então
- Como
é dada por partes, para calcular integrais sobre intervalos que cruzam pontos onde a definição muda (aqui e ) devemos dividir a integral nesses pontos e somar as integrais em cada subintervalo onde tem expressão única. Ou seja, por exemplo
desde que cada parte use a expressão de
válida naquele subintervalo.]
Passo 3
Calcular a integral (a)
.
- No intervalo
a função está na ramificação porque todo ali é . Então
- Encontrar primitiva de
. Lembrando as primitivas básicas:
-
, -
.
Logo uma primitiva deé
- Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo:
- Avaliar nos extremos:
- Em
: . - Em
: .
- Subtraindo:
Portanto a integral (a) vale
.
Passo 4
Preparar o cálculo da integral (b)
.
- Como explicado, dividir o intervalo em pedaços onde
tem expressão única. Os pontos de trocas são (troca entre e ) e (troca dentro de ). Mas o intervalo termina em , então precisamos de duas subintegralidades:
Já calculamos a primeira parte:
.
- No intervalo
usar a expressão para quando , isto é . Assim
Passo 5
Calcular
.
- Ache uma primitiva de
. As primitivas conhecidas:
-
, -
.
Então uma primitiva é
- Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo:
- Avaliar nos extremos:
- Em
: . - Em
: .
- Subtraindo:
Passo 6
Somar as partes para obter a integral total (b).
Já temos:
Portanto
Passo 7
Resumo didático rápido (como lembrar na hora da prova):
- Sempre identifique os pontos onde a função muda de expressão (aqui
e ). Divida a integral nesses pontos. - Para cada pedaço, escreva a expressão correta de
, ache a primitiva padrão (potências: , constantes: ), e avalie. - Soma as contribuições de cada subintervalo.
- Pontos isolados (valores em um único ponto) não alteram integrais.
Resposta
(a)
(b)
(b)