Em cada um dos Problemas 1 a 4,
y^{\prime}+(\tan t) y=\operatorname{sen} t, y(\pi)=0

Passo 1

Enunciado claro e dados que temos: a equação diferencial e a condição inicial são
y'(t)+(\tan t)\,y(t)=\sin t,\qquad y(\pi)=0.
O que é pedido: encontrar a função y(t) que satisfaz essa equação e a condição inicial. Informação importante do enunciado: \tan t (e portanto a equação dada) tem singularidades onde \cos t=0, isto é em t=\pi/2+k\pi. Como a condição inicial está em t=\pi, vamos procurar a solução no intervalo aberto que contém \pi e que não cruza nenhum ponto onde \cos t=0 (por exemplo (\pi/2,3\pi/2)).

Passo 2

Qual método usar e por quê (explicação didática do método):
A equação é linear de primeira ordem no formato padrão
y'+p(t)\,y=q(t),
onde aqui p(t)=\tan t e q(t)=\sin t. Para esse tipo de equação usamos o fator integrante \mu(t), que é definido por
\mu(t)=\exp\!\Big(\int p(t)\,dt\Big).
A razão: multiplicando a equação por \mu(t) a parte esquerda vira a derivada de \mu(t)y(t), isto é
\frac{d}{dt}\big(\mu(t)y(t)\big)=\mu(t)q(t),
o que nos permite integrar diretamente. Vou aplicar esse procedimento passo a passo.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(t). Aqui p(t)=\tan t, então
\int p(t)\,dt=\int \tan t\,dt.
Lembrando que \int \tan t\,dt=-\ln|\cos t|+C (uma forma padrão; dá para verificar derivando -\ln|\cos t|), tomamos
\mu(t)=\exp\!\big(-\ln|\cos t|\big)=\frac{1}{|\cos t|}.
Como estamos procurando solução em um intervalo fixo onde \cos t não muda de sinal (por exemplo em (\pi/2,3\pi/2) temos \cos t<0), podemos escolher para cálculo prático
\mu(t)=\operatorname{sec} t=\frac{1}{\cos t},
observando que multiplicar por uma constante positiva não altera o processo (qualquer escolha equivalente a uma constante multiplicativa só muda a constante de integração).

Passo 4

Multiplicar a equação original pelo fator integrante \mu(t)=\operatorname{sec} t. Fazendo isso obtemos
\operatorname{sec} t\,y'(t)+\operatorname{sec} t\tan t\,y(t)=\operatorname{sec} t\sin t.
Agora a observação chave: a parte esquerda é exatamente a derivada do produto \operatorname{sec} t\cdot y(t), porque
\frac{d}{dt}\big(\operatorname{sec} t\cdot y(t)\big)=\operatorname{sec} t\,y'(t)+\operatorname{sec} t\tan t\,y(t).
Portanto a equação fica
\frac{d}{dt}\big(\operatorname{sec} t\cdot y(t)\big)=\operatorname{sec} t\sin t.

Passo 5

Simplificar o lado direito e integrar. Note que
\operatorname{sec} t\sin t=\frac{\sin t}{\cos t}=\tan t.
Assim
\frac{d}{dt}\big(\operatorname{sec} t\cdot y(t)\big)=\tan t.
Integramos ambos os lados em relação a t:
\operatorname{sec} t\cdot y(t)=\int \tan t\,dt + C.
Usando \int \tan t\,dt=-\ln|\cos t|+C, obtemos
\operatorname{sec} t\cdot y(t)=-\ln|\cos t|+C.
Agora isolamos y(t) multiplicando por \cos t:
y(t)=\cos t\big(-\ln|\cos t|+C\big)=-\cos t\ln|\cos t|+C\cos t.
Esse é o formulário geral da solução em qualquer intervalo onde \cos t\neq0.

Passo 6

Aplicar a condição inicial y(\pi)=0 para determinar a constante C. Calculamos os termos em t=\pi:
\cos\pi=-1,\qquad \ln|\cos\pi|=\ln|{-1}|=\ln 1=0.
Substituindo em y(t) obtemos
y(\pi)=-\cos\pi\ln|\cos\pi|+C\cos\pi = -(-1)\cdot 0 + C\cdot(-1) = -C.
Como y(\pi)=0, temos -C=0, isto é C=0.

Passo 7

Concluir a solução particular que satisfaz a condição inicial substituindo C=0 na expressão geral:
y(t)=-\cos t\ln|\cos t|.
Lembrando a observação sobre domínio: essa fórmula vale em qualquer intervalo onde \cos t\neq0 e que contenha t=\pi; por exemplo em (\pi/2,3\pi/2).

Resposta

y(t)=-\cos t\ln|\cos t|,\quad t\in(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2})

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