Em cada um dos Problemas 1 a 4,
Passo 1
Enunciado claro e dados que temos: a equação diferencial e a condição inicial são
O que é pedido: encontrar a função
que satisfaz essa equação e a condição inicial. Informação importante do enunciado:
(e portanto a equação dada) tem singularidades onde
, isto é em
. Como a condição inicial está em
, vamos procurar a solução no intervalo aberto que contém
e que não cruza nenhum ponto onde
(por exemplo
).
Passo 2
Qual método usar e por quê (explicação didática do método):
A equação é linear de primeira ordem no formato padrão
A equação é linear de primeira ordem no formato padrão
onde aqui
e
. Para esse tipo de equação usamos o fator integrante
, que é definido por
A razão: multiplicando a equação por
a parte esquerda vira a derivada de
, isto é
o que nos permite integrar diretamente. Vou aplicar esse procedimento passo a passo.
Passo 3
Calcular o fator integrante
. Aqui
, então
Lembrando que
(uma forma padrão; dá para verificar derivando
), tomamos
Como estamos procurando solução em um intervalo fixo onde
não muda de sinal (por exemplo em
temos
), podemos escolher para cálculo prático
observando que multiplicar por uma constante positiva não altera o processo (qualquer escolha equivalente a uma constante multiplicativa só muda a constante de integração).
Passo 4
Multiplicar a equação original pelo fator integrante
. Fazendo isso obtemos
Agora a observação chave: a parte esquerda é exatamente a derivada do produto
, porque
Portanto a equação fica
Passo 5
Simplificar o lado direito e integrar. Note que
Assim
Integramos ambos os lados em relação a
:
Usando
, obtemos
Agora isolamos
multiplicando por
:
Esse é o formulário geral da solução em qualquer intervalo onde
.
Passo 6
Aplicar a condição inicial
para determinar a constante
. Calculamos os termos em
:
Substituindo em
obtemos
Como
, temos
, isto é
.
Passo 7
Concluir a solução particular que satisfaz a condição inicial substituindo
na expressão geral:
Lembrando a observação sobre domínio: essa fórmula vale em qualquer intervalo onde
e que contenha
; por exemplo em
.