Uma massa de 2 libras distende uma mola em 6 polegadas. Em
, a massa é solta de um ponto 8 polegadas abaixo da posição de equilíbrio, a uma velocidade de
pé/s para cima. Determine a equação do movimento livre.
libraz
pe
Passo 1
Vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados do enunciado:
- Uma massa com “peso”
libras (ou seja, a força peso vale lb). - Essa massa distende a mola
polegadas ( in) quando fica em equilíbrio (essa informação liga a mola ao peso). - No instante
a massa é solta a polegadas abaixo da posição de equilíbrio. - A velocidade inicial é
pé/s para cima no instante . - Foi dada a lei de Hooke
e uma indicação de que (unidades coerentes com libras e pés).
- Uma massa com “peso”
-
O que se pede:
- Determinar a equação do movimento livre da massa (ou seja, a função
que descreve o deslocamento em função do tempo, medida a partir da posição de equilíbrio).
- Determinar a equação do movimento livre da massa (ou seja, a função
Passo 2
Padronizar unidades e obter constantes físicas (módulo da mola
e massa
).
-
Primeiro, vamos trabalhar com pés (ft) e segundos (s). Convertemos as distâncias:
-
polegadas ft ft. -
polegadas ft ft.
-
-
A força peso é
lb. Em equilíbrio a mola sustenta o peso, então pela Lei de Hooke: ou sejaDaíIsso confirma odado. -
Converter o peso em massa (unidade de massa no sistema inglês: slug). A relação éonde
ft/s . Então
Agora temos
e
, unidades coerentes.
Passo 3
Montar a equação diferencial do movimento (sem amortecimento).
-
Para um sistema massa-mola sem amortecimento a equação éonde
é o deslocamento em relação à posição de equilíbrio (positivo para cima, por exemplo), é a segunda derivada temporal (aceleração), é a massa e a constante da mola. -
Substituindo
e obtemos Multiplicando porpara simplificar, -
Este é um ODE linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma padrão éentão aqui
e (rad/s). é a frequência angular natural do sistema.
Passo 4
Resolver a equação diferencial geral.
-
A equação característica éComo as raízes são puramente imaginárias temos solução oscilatória:onde
e são constantes a determinar pelas condições iniciais. -
Interpretação rápida:
e representam oscilações com frequência angular rad/s, ou seja período s. Mas não precisamos do período para a resposta; apenas é bom saber que o movimento é harmônico simples.
Passo 5
Aplicar as condições iniciais para determinar
e
.
-
Condições iniciais dadas:
- Deslocamento inicial: a massa é solta a
in abaixo da posição de equilíbrio, isto é (negativo porque escolhemos positivo para cima). - Velocidade inicial:
ft/s (para cima, positivo).
- Deslocamento inicial: a massa é solta a
-
Avaliando
: Logo -
Derivando
: Avaliando em: Assim
Passo 6
Escrever a solução particular final e comentar unidades.
- Substituindo
e na solução geral: - Aqui
está em pés e em segundos. Essa função descreve o movimento livre (oscilação harmônica simples) da massa em torno da posição de equilíbrio, sem amortecimento.