Uma massa de 2 libras distende uma mola em 6 polegadas. Em t=0, a massa é solta de um ponto 8 polegadas abaixo da posição de equilíbrio, a uma velocidade de \frac{4}{3} pé/s para cima. Determine a equação do movimento livre.
F=K S
K=4 libraz / pe ^{\prime}

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Uma massa com “peso” 2 libras (ou seja, a força peso vale 2 lb).
    • Essa massa distende a mola 6 polegadas ( 6 in) quando fica em equilíbrio (essa informação liga a mola ao peso).
    • No instante t=0 a massa é solta a 8 polegadas abaixo da posição de equilíbrio.
    • A velocidade inicial é \tfrac{4}{3} pé/s para cima no instante t=0.
    • Foi dada a lei de Hooke F = K S e uma indicação de que K = 4 (unidades coerentes com libras e pés).
  • O que se pede:
    • Determinar a equação do movimento livre da massa (ou seja, a função x(t) que descreve o deslocamento em função do tempo, medida a partir da posição de equilíbrio).

Passo 2

Padronizar unidades e obter constantes físicas (módulo da mola k e massa m).
  • Primeiro, vamos trabalhar com pés (ft) e segundos (s). Convertemos as distâncias:
    • 6 polegadas = \dfrac{6}{12} ft = \dfrac{1}{2} ft.
    • 8 polegadas = \dfrac{8}{12} ft = \dfrac{2}{3} ft.
  • A força peso é W=2 lb. Em equilíbrio a mola sustenta o peso, então pela Lei de Hooke:
    W = k \cdot (\text{extensão})ã
    ou seja
    2 = k\cdot \frac{1}{2}.
    Daí
    k = \frac{2}{1/2} = 4\quad\text{(lbf/ft)}.
    Isso confirma o K=4 dado.
  • Converter o peso em massa (unidade de massa no sistema inglês: slug). A relação é
    W = m g,
    onde g\approx 32 ft/s ^2. Então
    m = \frac{W}{g} = \frac{2}{32} = \frac{1}{16}\quad\text{(slugs)}.
Agora temos m=\dfrac{1}{16} e k=4, unidades coerentes.

Passo 3

Montar a equação diferencial do movimento (sem amortecimento).
  • Para um sistema massa-mola sem amortecimento a equação é
    m x'' + k x = 0,
    onde x(t) é o deslocamento em relação à posição de equilíbrio (positivo para cima, por exemplo), x'' é a segunda derivada temporal (aceleração), m é a massa e k a constante da mola.
  • Substituindo m=\dfrac{1}{16} e k=4 obtemos
    \frac{1}{16} x'' + 4 x = 0.
    Multiplicando por 16 para simplificar,
    x'' + 64 x = 0.
  • Este é um ODE linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma padrão é
    x'' + \omega^2 x = 0,
    então aqui \omega^2 = 64 e \omega = 8 (rad/s). \omega é a frequência angular natural do sistema.

Passo 4

Resolver a equação diferencial geral.
  • A equação característica é
    r^2 + 64 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = \pm 8 i.
    Como as raízes são puramente imaginárias temos solução oscilatória:
    x(t) = C_1 \cos(8t) + C_2 \sin(8t),
    onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.
  • Interpretação rápida: \cos(8t) e \sin(8t) representam oscilações com frequência angular 8 rad/s, ou seja período T = \dfrac{2\pi}{8} = \dfrac{\pi}{4} s. Mas não precisamos do período para a resposta; apenas é bom saber que o movimento é harmônico simples.

Passo 5

Aplicar as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.
  • Condições iniciais dadas:
    • Deslocamento inicial: a massa é solta a 8 in abaixo da posição de equilíbrio, isto é x(0) = -\frac{2}{3}\\ \text{ft}.(negativo porque escolhemos positivo para cima).
    • Velocidade inicial: \displaystyle x'(0)=\frac{4}{3} ft/s (para cima, positivo).
  • Avaliando x(0):
    x(0) = C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0) = C_1.
    Logo
    C_1 = -\frac{2}{3}.
  • Derivando x(t):
    x'(t) = -8 C_1 \sin(8t) + 8 C_2 \cos(8t).
    Avaliando em t=0:
    x'(0) = 8 C_2 = \frac{4}{3}.
    Assim
    C_2 = \frac{4}{3}\cdot\frac{1}{8} = \frac{1}{6}.

Passo 6

Escrever a solução particular final e comentar unidades.
  • Substituindo C_1 e C_2 na solução geral: x(t) = -\frac{2}{3}\cos(8t) + \frac{1}{6}\sin(8t).
  • Aqui x(t) está em pés e t em segundos. Essa função descreve o movimento livre (oscilação harmônica simples) da massa em torno da posição de equilíbrio, sem amortecimento.

Resposta

x(t) = -\frac{2}{3}\cos(8t) + \frac{1}{6}\sin(8t)

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